Mínimo

Concepto

Dada una función, f(x), se llama mínimo o mínimo absoluto al menor valor que toma dicha función. Se habla de mínimo relativo cuando se restringen los valores de la variable a un cierto entorno de un determinado punto.

A los máximos y mínimos relativos se les llama extremos relativos o simplemente extremos.

Definiciones

Así si, una función real, x₀ ∈ D un punto de su dominio, y P(x₀, f(x₀)) un punto perteneciente a la función, definimos como:

Mínimo absoluto:

El punto P de la función f, si para todo punto x distinto de x₀, perteneciente al dominio de la función, f (x) es menor o igual que f(x₀).

P(x₀, f(x₀)) mínimo absoluto de f(x) ⇔ f(x₀) ≤ f(x), ∀ x ∈ D, x ≠ x₀

Mínimo relativo o local:

El punto p de la función f, si existe un entorno reducido de centro x₀, en el que se cumple que f(x₀) ≤ f(x), para todo x perteneciente a dicho entorno.

f(x₀) ≤ f(x), ∀ x ∈ E(x₀), x ≠ x₀.

Condición necesaria para la existencia de mínimo (teorema)

Sea una función real, x₀ ∈ D un punto de su dominio, si f alcanza un mínimo en x₀ y es derivable en dicho punto₀, entonces f´(x₀)=0.

Por lo tanto:

Si en x₀ hay un mínimo ⇒ f´(x₀)=0

Si f´(x₀) ≠ 0 ⇒ No hay mínimo en x₀.

A los puntos donde se anula la primera derivada se les conoce como puntos críticos, y en ellos puede haber: un mínimo, un máximo o un punto de inflexión.

Si la función hasta ese punto crítico decrece y a partir de él crece, estaremos ante un mínimo, la función se dice que es cóncava o cóncava positiva en este punto, esto es:

Sea una función real, x₀ ∈ D un punto de su dominio.

Criterio de la evolución de la función

Si existe f´(x₀) y vale cero 0, entonces x₀ es un punto crítico.

Tomando, ahora, dos puntos, tales que, (x₀ - k), (x₀ + k) ∈ E(x₀); ∀ k > 0, entonces el punto x₀ es un mínimo relativo si: f(x₀ - k) > f(x₀) < f(x₀ + k).

Es decir, la función f presenta un mínimo en el punto x₀, si es decreciente antes de él, en (x₀-k), y creciente después del mismo, en (x₀+k). Así, la pendiente de la recta tangente en x₀ será cero, en (x₀-k) menor que cero y en (x₀+k) mayor.

Criterio de la primera derivada

Si la función de referencia es derivable en un intervalo (a, b), tal que x₀ ∈ (a,b) y f´(x₀)=0 entonces f presenta un mínimo en x₀ si:

∀x₁ ∈(a, x₀), f´(x₁) < 0, y ∀x₂ ∈(x₀,b), f´(x₂) > 0

En efecto, la primera condición obliga a que las tangentes de la curva en esos puntos del intervalo (a, x₀) tengan pendiente negativa, la función decrezca, y en el intervalo (x₀, b) la derivada positiva indica que las tangentes tienen pendiente positiva, por tanto la función crece, dibujando un mínimo en el punto de inflexión x₀.

Condición suficiente para la existencia de mínimo (teorema)

Criterio de la segunda derivada

Sea una función real con derivadas sucesivas, x₀ ∈ D un punto de su dominio tal que f´(x₀)=0, entonces, si f´´(x₀)>0, f alcanza un mínimo relativo en x₀.

En efecto, si f´´(x₀)>0 entonces f´(x₀) es creciente en x₀, ya que es su derivada y nos indica el signo de la pendiente, tomando una constante k>0 y analizando la evolución de f´, obtenemos que:

Y, por lo tanto, al ser la función f decreciente antes de x₀ y creciente después de x₀, describe un mínimo relativo en ese punto.

En el caso de que f´´(x₀)<0, la función presentaría un máximo, si f´´(x₀)=0 no se puede afirmar que haya un máximo o un mínimo, para este caso utilizamos el criterio de la tercera derivada.

Criterio de la tercera derivada

En el último caso, cuando dado un punto crítico con f´(x₀)=0 resulte que f´´(x₀) también es 0, calculamos el valor de la tercera deriva en ese punto f´´´(x₀) y si no es cero, entonces habrá un punto de inflexión.

Criterio de la derivada de mayor orden

Existe una generalización de estos criterios, conocida como criterio de la derivada de mayor orden.

Sea una función real con derivadas sucesivas, x₀ ∈ D un punto de su dominio tal que:

• • f´(x₀) = f´´(x₀) = ... = f^(n-1) (x₀) = 0
• • ∃ f⁽ⁿ⁾ (x₀) y es distinto de cero

Entonces si n es par:

• • f⁽ⁿ⁾ (x₀) > 0 ⇒ f presenta un mínimo relativo en x₀.
• • f⁽ⁿ⁾ (x₀) < 0 ⇒ f presenta un máximo relativo en x₀,

Y si n es impar, entonces f presenta un punto e inflexión en x₀.

Cálculo del mínimo

Sea una función real y x₀ ∈ D un punto de su dominio, para calcular el mínimo de la misma seguiremos el siguiente esquema:

• a) Puntos críticos

  Hallamos los puntos críticos, es decir, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. Las raíces resultantes de esta ecuación serán los puntos críticos, es decir, los posibles mínimos, máximos o puntos de inflexión.

• b) Criterio de la segunda derivada

  Calculamos la función de la segunda derivada, y el valor que toma en los puntos críticos. Seguimos el criterio descrito como de 2ª derivada, esto es, si el valor resulta mayor que cero, existe un mínimo, y si es negativo un máximo. Si el resultado fuese cero, seguiríamos derivando hasta que tuviera un valor distinto de cero y, entonces, comprobaríamos si la última derivada es impar (punto de inflexión) o par, siguiendo el mismo criterio, si es positivo, mínimo, y si el positivo, máximo.

Ejemplo

Sea la función f(x)= x³-12x. Calcular los mínimos relativos de dicha función.

1. Damos valores a la función, y la dibujamos:

2. Calculamos los puntos críticos, donde la primera derivada se anula.

La función de la primera derivada es:

f´(x)=3x²-12

La igualamos a cero, y obtenemos las raíces, que serán los puntos críticos:

Si 3x²-12=0 entonces x vale x₁=-2 y x₂=2.

3. Analizamos ahora el signo de la segunda derivada en esos puntos:

f´´(x)=6x.

Si x₁=-2, entonces f´´( x₁)= -12<0, en el punto (-2,-12) hay un máximo.

Si x₁=2, entonces f´´( x₁)= 12>0, en el punto (2,12) hay un mínimo.

Efectivamente, si observamos la gráfica, vemos que f es creciente hasta x=-2, en el intervalo (-2,2) es decreciente, y desde x=2 vuelve a tener pendiente positiva, describiendo así el mínimo y máximo relativos.

En el punto (0, 0) existe un punto de inflexión, donde cambia la concavidad de convexa o cóncava negativa a cóncava o cóncava positiva. En este punto la segunda derivada es cero.