Máxima verosimilitud

Concepto

Es un procedimiento de estimación que necesita el conocimiento de la distribución de probabilidad poblacional.

Para llevar a cabo este procedimiento es necesario obtener la función de verosimilitud.

Función de verosimilitud

Sea una variable aleatoria ε con función de cuantía P(ε = x,δ), si es discreta, o función densidad f(x; δ), si es continua. Donde δ es un parámetro desconocido.

Si se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño n (x₁, ..., x_n), entonces la función conjunta de cuantía o de densidad (dependiendo de si la variable es discreta o continua) es la función de verosimilitud. Esta función de verosimilitud se representa por L(X; δ) y se calcula del siguiente modo:

L(X; δ) = f(x₁; δ) x ... x f(x_n; δ)

Donde, f(x_i; δ), si la variable es discreta, representa la función de cuantía de la variable i-ésima de la muestra y, si la variable es continua, representa la función de densidad de la variable i-ésima.

Estimación utilizando máxima verosimilitud

El criterio que se adopta para obtener el valor estimado del parámetro desconocido δ, es elegir aquel estimador que maximiza la función de verosimilitud. Sin embargo, como la función de verosimilitud es multiplicativa, los cálculos se pueden complicar, por esta razón, se obtiene el valor del parámetro que maximiza el logaritmo de la función de verosimilitud. Este estimador se llama estimador máximo verosímil.

Para obtener el estimador máximo verosímil hay que seguir los siguientes pasos:

• a) Derivar el logaritmo de la función de verosimilitud respecto del parámetro desconocido.
• b) Igualar a cero la primera derivada y obtener el valor del estimador en función de los elementos de la muestra.
• c) Obtener la segunda derivada del logaritmo de la función de verosimilitud respecto del parámetro. Para que sea un máximo esta segunda derivada tiene que ser negativa.

Si la función de densidad o de cuantía dependen de más de un parámetro, el procedimiento de estimación es similar al anteriormente expuesto, pero será necesario derivar el logaritmo de la función de verosimilitud respecto de cada uno de ellos, igualar las primeras derivadas a cero para obtener las estimaciones máximo verosímiles de los parámetros. Para que sea un máximo, será necesario que la matriz hessiana sea definida negativa.

Los estimadores obtenidos por máxima verosimilitud son consistentes, asintóticamente normales, asintóticamente eficientes, invariantes, pero no siempre son insesgados.

La función de verosimilitud también es útil para realizar inferencia estadística; por ejemplo, utilizando el contraste de razón de verosimilitud.

Contraste de razón de verosimilitud

Es un contraste de significación que se basa en la comparación del cociente de la función de verosimilitud evaluada en la hipótesis nula, H₀: δ = δ₀ y la función de verosimilitud en un punto máximo, es decir:

Si existe el estimador máximo verosímil del parámetro δ, entonces, máx L(X;δ)=L(X;δ^∧) y la razón de verosimilitud medirá la discrepancia relativa que existe entre L(X;δ₀) y L(X;δ^ð).

Si el contraste se refiere a un solo parámetro δ, entonces se verifica la propiedad asintótica:

Y, por lo tanto, si el tamaño de la muestra es grande, la transformación -2 ln λ converge en distribución a una χ² de Pearson con un grado de libertad, que es el número de restricciones impuestas bajo la hipótesis nula.

Este contraste de razón de verosimilitud también se puede utilizar para comparar modelos anidados y establecer si es más adecuado o no un modelo que tenga una variable adicional más que otro.

Ejemplo.

Se considera un modelo de regresión con tres variables explicativas:

Y_i = β₁ + β₂X_2i + β₃X_3i + u_i

Y se plantea la hipótesis nula de que β₂, el coeficiente de X_2i, es cero, H₀: β₂ = 0. Entonces, si esta hipótesis fuera cierta se obtendría el modelo restringido:

Y_i = β₁ + β₃X_3i + u_i

Para contrastar si la hipótesis nula es cierta o no, se utiliza el contraste de razón de verosimilitud. Para ello, es necesario calcular el logaritmo de la función de verosimilitud del modelo restringido y del modelo sin restringir. A partir de estos logaritmos se calcula λ del siguiente modo:

λ = -2 (ln L^R - ln L)

Donde, Log L^R y log L son respectivamente la función logarítmica restringida y no restringida. Si la hipótesis inicial es cierta, entonces no habrá diferencia entre Log L^R y log L y para un nivel de significación del 5 %, el valor crítico de la será mayor que λ, se aceptará la hipótesis nula y, por lo tanto, el modelo adecuado será el modelo restringido. Sin embargo, si los valores de Log L^R y log L divergen y el valor de λ es mayor que el valor crítico, se rechazará la hipótesis nula y el modelo adecuado será el modelo sin restringir.