Media

Medidas centrales

Cuando se estudia una característica determinada en un conjunto de individuos, la información que obtenemos de la realidad, normalmente referida a una muestra de la población, se nos presenta en forma de tabla, lo que supone, ya, una síntesis de la información. Pero aún se suele necesitar mayor concreción, una reducción a un solo dato que permita la comparativa de distribuciones distintas. Estas medidas caracterizan a la distribución de frecuencias, y pueden hacer referencia a varios aspectos: posición, dispersión, forma, etcétera. Estas medidas sintetizadoras deben ser únicas para cada distribución y en su cálculo, que debe ser siempre posible, utilizarse todos los datos de la distribución. Suponen, por tanto, una manera de caracterizar dicha distribución.

Las medidas de posición pueden ser centrales o no centrales. Entre las medidas de posición centrales destacamos por su uso e importancia la media aritmética, la media geométrica, la media armónica, la moda y la mediana. Nos centraremos en las tres primeras.

Supongamos un estudio de una población a través de una muestra de n individuos, donde se ha observado la variable X, recogiéndose la información en la tabla siguiente:

Media aritmética

Definición

Es el cociente entre la suma de todos los términos de una variable y el número total de ellos, se denota por , y vale:

Se suele calcular multiplicando cada valor diferente por su frecuencia absoluta, de tal forma que se simplifique su cálculo:

Si se tratara de una variable continua, o discreta agrupada en intervalos, x_i sería la marca de clase del intervalo correspondiente, es decir el valor central del mismo.

Ejemplo

Dada la distribución siguiente que representa el beneficio en miles de euros obtenido por 10 empresas. Calcúlese en beneficio medio de las cuatro (media aritmética).

Propiedades

— La suma total de las desviaciones de los valores respecto a ella es cero. Por esto se considera el centro de gravedad. En efecto,

— Es el valor que hace mínimo la media de las desviaciones al cuadrado de los valores de la variable (Teorema de König). Esto es, considerando la expresión:

Se hace mínimo cuando k coincide con la media aritmética.

— Queda afectada por los cambios de origen, es decir, si a todos los valores de la distribución les sumamos una constante k, la media aritmética de la distribución formada con los nuevos términos será igual a la original más dicha constante k. Esto es:

Sea (x_i, n_i) una distribución de frecuencias con media aritmética y k una constante, si construimos una nueva distribución de la forma (x´_i, n_i), mediante la transformación:

x´_i = x_i + k

la media aritmética de la misma será:

´ = + k

— Queda afectada por los cambios de escala, es decir, si a todos los valores de la distribución lo multiplicamos por una constante k, la media aritmética de la distribución formada con los nuevos términos será igual a la original multiplicada dicha constante k. Esto es:

Sea (x_i, n_i) una distribución de frecuencias con media aritmética y k una constante, si construimos una nueva distribución de la forma (x´_i, n_i), mediante la transformación:

x´_i = x_i *k

la media aritmética de la misma será:

´= *k

— De estas dos últimas propiedades se deduce que:

Dada dos distribuciones (x_i, n_i), con media , e (y_i, n_i), con media , tales que y = a* x_i + b, entonces .

— La media aritmética de las medias aritméticas de los subconjuntos disjuntos que pueden formar a partir de un conjunto original es igual a la media aritmética de la distribución original.

Esto es, dado una distribución (x_i, n_i) con N términos, podemos, por ejemplo, tomar dos subconjuntos disjuntos de forma que el primero comprenda los h primeros términos, desde i = 1 hasta h, y el segundo los restantes, desde i = h+1 hasta n. Tenemos que

Ventajas de la media aritmética

• • Utiliza todos los valores de la variable, es única y siempre calculable.
• • Fácil de calcular, interpretar y de comparar.
• • Es poco sensible a las diferencias muestrales.

Incovenientes de la media aritmética

• • Los valores anormalmente extremos pueden distorsionar el valor de la media aritmética.

Media geométrica

Definición

Dada una distribución de frecuencias (x_i, n_i), la media geométrica, que se denota por G, es la raíz N-ésima del producto de los N valores de dicha distribución; esto es:

Se emplea normalmente para el cálculo de promedios de porcentajes, números índices, tasas, tipos de interés, ..., y, en general, cuando la variable presente variaciones acumulativas.

Propiedades

— El logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable, es decir:

— Siempre es menor que la media aritmética.

Ventajas de la media geométrica

• • Intervienen todos los términos.
• • Menos sensible a valores extremos.

Inconvenientes de la media geométrica

• • Cálculo complicado.
• • Interpretación más dificultosa que la media aritmética.
• • No siempre es posible determinarla, si x_i toma el valor cero entonces G se anula, también puede haber problemas de determinación de G cuando x_i cuando toma valores negativos.

Ejemplo

Dada la distribución siguiente de tasas de crecimiento de la economía de un país referida a los últimos 10 años, obtener la media geométrica (tasa anual de crecimiento).

Media armónica

Definición

Dada una distribución de frecuencias (x_i, n_i), la media armónica es la inversa de la media aritmética de los inversos de los términos de una sucesión. Se denota por H.

Se emplea normalmente para el cálculo de promedios de velocidades, rendimientos, tiempos, ..., y, en general, cuando la variable viene expresada en unidades que son el cociente de dos magnitudes simples.

Ventaja de la media armónica

• • Intervienen todos los términos.

Inconvenientes de la media armónica

• • Cálculo complicado.
• • Si la variable toma el valor cero no está determinada, y cuando se aproxima a valores muy pequeños puede distorsionarse su valor.

Ejemplo

Dada la distribución siguiente referida al número de ordenadores por cada 1.000 habitantes en miles, de 15 países, obtener el promedio (media armónica).

Relación entre las tres medias descritas

Dada una distribución de frecuencia (x_i, n_i) se cumple siempre que:

H ≤ G ≤

Relación media aritmética, moda y mediana

En distribuciones campaniformes, se cumple que:

— Distribuciones simétricas:

— Distribuciones asimétricas positiva o a la derecha:

— Distribuciones asimétricas negativa o a la izquierda: