Método generalizado de momentos

Concepto

El método generalizado de momentos es un procedimiento general de estimación de modelos econométricos lineales y no lineales. Su carácter general se denota en que gran parte de otros métodos de estimación habituales como mínimos cuadrados ordinarios y generalizados, variables instrumentales o máxima verosimilitud pueden contemplarse como casos particulares del método generalizado de momentos.

Método de momentos

La técnica de estimación por el método de los momentos es un procedimiento estadístico que permite obtener estimaciones de parámetros de interés a partir de su relación con los momentos de la distribución. El momento poblacional respecto al origen de orden r en una distribución se define como α_r = E (ξ^r); así α₁ = E (ξ) = μ es la media poblacional, α₂ = E (ξ²) y así sucesivamente. El principio del método de momentos consiste en estimar el momento poblacional α_i con su equivalente momento muestral y, a partir de ahí, obtener la estimación del parámetro correspondiente. Si la especificación del momento poblacional es correcta entonces tenemos garantizada la consistencia de los estimadores obtenidos.

A modo de ejemplo, imaginemos que queremos estimar el parámetro θ en una distribución exponencial. En esta distribución, utilizada cuando se modeliza el tiempo transcurrido entre dos sucesos consecutivos (por ejemplo: tiempo transcurrido entre la llegada de dos clientes sucesivos a una entidad bancaria), se cumple que la media poblacional es . Para estimar el parámetro θ por el método de los momentos, lo primero que haremos será estimar la media poblacional μ con su correspondiente media muestral dada por . A partir de ahí, dada la relación entre θ y μ, se obtiene la estimación de θ como: .

Si necesitásemos estimar dos parámetros de la distribución, necesitaríamos dos ecuaciones basadas en los momentos α₁ y α₂ que incluyeran ambos parámetros. A partir de ahí, igualando estos momentos poblacionales a los muestrales correspondientes, se obtendrían las dos ecuaciones cuya solución permite obtener las estimaciones de los parámetros. En general, si queremos estimar k parámetros necesitaríamos k ecuaciones de momentos. Si la relación entre los parámetros y los momentos está bien especificada, se tiene garantizada la consistencia de los estimadores obtenidos.

Método de momentos en el modelo de regresión lineal

En el modelo de regresión lineal dado por:

y_i = β₀ + β₁x_1,i + β₂x_2,i + ... + β_kx_k,i + u_i

La condición de consistencia para estimar por mínimos cuadrados es la incorrelación entre las variables independientes x_j y el ruido de la regresión u. Para cada variable x_j esto se puede expresar como:

E [x_ju] = E [x_j (y - β₀ - β₁x₁ - β₂x₂ - ... - β_kx_k)] = 0

Esta ecuación es una condición de momentos que incluye los parámetros β_j que queremos estimar. Si estimamos el momento anterior con su correspondiente momento muestral, tenemos que:

Si hacemos lo mismo con todas las variables x_j, como tenemos tantas variables x_j como parámetros β_j, podemos obtener un número de ecuaciones lineales igual al número de parámetros a estimar (para el término constante β_j basta elegir x₀=1). De hecho, este sistema de ecuaciones coincide con el sistema normal de ecuaciones para estimar por mínimos cuadrados y, por lo tanto, para este modelo particular, coinciden ambos estimadores.

Si no todas las variables x_j están incorrelacionadas con el ruido u (técnicamente se dice que esas variables son regresores endógenos), para cada regresor endógeno habrá que buscar una variable instrumental z_j correlacionada con la anterior y que cumpla la condición E [z_ju] = 0. Para estimar por el método de los momentos bastaría sustituir por los momentos muestrales correspondientes y despejar los parámetros β_j. Este es, de una forma intuitiva, el principio de estimación por variables instrumentales: a cada variable x_j endógena se le asocia un instrumento (o conjunto de instrumentos) y se aplican la condición de momentos E [z_ju] = 0 (las variables x_j que no sean endógenas tendrían la misma ecuación de momentos que anteriormente, es decir E [x_ju] = 0). Como se puede observar, también el método de variables instrumentales en el modelo de regresión es un caso particular del método de los momentos.

Método generalizado de momentos

En los modelos anteriores hemos empleado un número de ecuaciones de momentos igual al número de parámetros a estimar. Sin embargo, con carácter más general, podríamos usar más de una ecuación de momentos para estimar un mismo parámetro. Por ejemplo, si tenemos una distribución Poisson de parámetro λ (utilizada en modelos con datos de recuento, por ejemplo, el número de clientes que llegan a una entidad bancaria en un determinado intervalo de tiempo), en esta distribución tanto la media como la varianza son iguales al parámetro λ y podríamos utilizar la información muestral de ambos momentos (que, generalmente, no será la misma) para ayudarnos a estimar el parámetro en cuestión.

En general, si denominamos como θ al vector de parámetros que queremos estimar, y como al número de condiciones de momento muestrales que incluyen al vector de parámetros θ, el estimador GMM se obtiene minimizando respecto al vector θ la función cuadrática:

Donde A es una matriz definida positiva que no depende del vector de parámetros θ (por ejemplo, la matriz identidad). Hay que tener en cuenta que, para que este problema tenga solución, el número de condiciones de momento debe ser mayor o igual que la dimensión del vector de parámetros θ.

Para minimizar la función, las condiciones de primer orden vendrán dadas por el sistema de ecuaciones dado por: . Este sistema de ecuaciones será, en general, no lineal por lo cual habrá que recurrir a técnicas de optimización numérica para obtener el vector de estimadores que resuelva el sistema.

Una cuestión a tener en cuenta es que existen tantos estimadores por GMM como elecciones posibles de la matriz A. Aunque, siempre que A sea definida positiva todos los posibles estimadores son consistentes, en general, la elección más adecuada consiste en seleccionar aquella matriz A que minimiza la varianza de los estimadores obtenidos. Dicho de otra forma, se debería elegir la matriz A que hace eficientes los estimadores obtenidos. Sin embargo, en muchas ocasiones la matriz A que permite obtener estimadores eficientes depende, a su vez, de los parámetros a estimar θ por lo cual no se puede conocer a priori. Una posible opción es plantear el problema en dos etapas:

• 1. Obtener una estimación consistente inicial eligiendo una matriz A cualquiera que sea definida positiva (por ejemplo A=I, la matriz identidad).
• 2. Si la matriz óptima A depende del vector θ, utilizar las estimaciones obtenidas en la etapa anterior para construir la matriz óptima A y volver a obtener las estimaciones GMM minimizando el valor de con la matriz A seleccionada.

Los pasos anteriores se pueden repetir (o iterar) de forma sucesiva hasta que las estimaciones obtenidas en pasos sucesivos sean muy similares (técnicamente se dice que los estimadores han convergido).

Para acabar, hay que señalar que, dentro del marco GMM, es posible realizar contrastes de hipótesis sobre los parámetros θ de forma similar a los tests ratio de verosimilitudes, multiplicadores de Lagrange y test de Wald en el contexto de estimación por máxima verosimilitud. Estos contrastes utilizan ahora las condiciones de momento empleadas anteriormente para obtener los estimadores.