Intersección de Fisher

Concepto

Es el punto en el cual coincide el Valor Actualizado Neto (VAN) de dos o más inversiones. A la tasa para la cual se produce la citada igualdad se la denomina "tasa de retorno sobre el coste de Fisher". Se utiliza para realizar un análisis de la preferencia según el VAN entre varias inversiones en función de los distintos tipos de descuento.

Cálculo analítico

Para determinar las posibles intersecciones de Fisher hay que identificar la tasa de descuento (tasa de retorno de Fisher (r_f)) para el que se iguala el VAN de los proyectos analizados. La citada tasa se despeja de la siguiente igualdad:

Siendo:

• — A,Q₁,Q₂,...,Q_n: el desembolso inicial y los flujos de caja de una de las inversiones.
• — A,Q´₁,Q´₂,...,Q´_n: el desembolso inicial y los flujos de caja de la otra inversión.
• — r_f: la tasa de retorno sobre el coste de Fisher.

Al despejar una ecuación de grado "n" pueden obtenerse varias tasas de retorno.

Representación gráfica

En la representación gráfica se pretende analizar la evolución del VAN (eje de ordenadas) en función de los posibles valores del tipo de descuento "k" (eje de abscisas). Dentro de las posibles intersecciones de Fisher, solo tienen significado económico aquellas que se producen en el primer cuadrante, ya que las restantes corresponden a tipos de descuento para el que las inversiones no son efectuables.

Para realizar el análisis se toman inversiones simples, ya que este tipo de proyectos presentan siempre un solo punto de corte con los ejes así como una curva decreciente y convexa (con respecto al sentido positivo del eje de abscisas). Suponiendo una sola intersección de Fisher en el primer cuadrante se llegaría a la representación del gráfico siguiente.

Como puede observarse, si se aplica la tasa sobre el coste de Fisher al VAN de ambas inversiones se obtendría el mismo valor (VANr_f).

Es posible que exista más de una intersección de Fisher entre dos inversiones en el primer cuadrante, (como puede verse en el gráfico adjunto). Además, esta situación puede generalizarse para más inversiones obteniendo nuevas intersecciones.

Ejemplo.

Una inversión con un desembolso inicial de 1.000 euros, genera unos flujos de caja anuales de 500 euros durante tres años. Otra inversión requiere un desembolso de 1.400 euros, generando en el primer año 500 euros, 1.000 euros en el segundo y 500 en el tercero. Representar gráficamente el VAN de ambas inversiones.

Para la representación gráfica se puede partir de los puntos de corte de las inversiones en ambos ejes. Dado que las dos inversiones son simples, al tener solo el desembolso inicial negativo, únicamente tienen un punto de corte en cada eje:

— Corte en el eje de ordenadas: se calcula mediante la diferencia entre el desembolso inicial y los flujos de caja:

• • Inversión X: -1.000 + 500 + 500 + 500 = 500.
• • Inversión Y: -1.400 + 500 + 1.000 + 500 = 600.

— Corte en el eje de abscisas: se calcula mediante la TIR:

• Inversión X:

• Inversión Y:

Para conocer si las inversiones se cortan en el primer cuadrante es necesario determinar si existen intersecciones de Fisher. Para ello:

Como puede comprobarse el VAN de ambas inversiones debe coincidir si se aplica un tipo del 11,8 %:

De esta forma la representación gráfica es la siguiente: