Modelo de crecimiento de Solow

Concepto

R. Solow publicó en 1956 un artículo titulado “A contribution to the Theory of Economic Growth” que suele tomarse como el punto de arranque de la teoría neoclásica del crecimiento y que ha tenido una influencia determinante en la literatura posterior sobre crecimiento económico. De hecho, puede afirmarse que desde los años sesenta, y aún actualmente, se ha identificado este modelo con la teoría del crecimiento ortodoxa, y ha sido la referencia de los trabajos posteriores en este campo. Una prueba de este reconocimiento es que R. Solow obtuvo el Premio Nobel de Economía en 1987 precisamente por sus contribuciones a la teoría del crecimiento.

En su discurso de aceptación de este premio, Solow reconocía que el origen de su trabajo fue su “incomodidad” con los modelos Harrod-Domar, que constituían el enfoque entonces predominante en la teoría del crecimiento y que constituía un intento de aplicar a los fenómenos del crecimiento a largo plazo el principio keynesiano de la demanda efectiva. En particular, Solow rechazaba la conclusión obtenida en estos modelos de que era muy improbable que la economía se situase en una senda de crecimiento sostenido de pleno empleo.

El modelo de Solow trata de mostrar, por el contrario, que la economía tiende a una senda de crecimiento estable en la que el pleno empleo está asegurado por el funcionamiento del mercado, ya que en su opinión los precios y salarios son suficientemente flexibles a largo plazo, que es el que debe considerarse en estos modelos. Para alcanzar este resultado, Solow abandonó el supuesto de rigidez tecnológica de los modelos anteriores, de forma que es posible que la relación capital producto se modifique a lo largo del tiempo. Cuando se introducen estas dos vías de flexibilidad en el funcionamiento de la economía a largo plazo, sí existen mecanismos que tienden a igualar a largo plazo la tasa de crecimiento con aquella que es necesaria para mantener el pleno empleo.

Supuestos del modelo

A diferencia de los modelos keynesianos, en los que el nivel de producción de cada período viene determinado por los componentes de la demanda y, por tanto, utilizan conceptos como el multiplicador y el acelerador, el modelo de crecimiento de Solow parte de una concepción neoclásica de la economía y de una visión de largo plazo en la que se supone que dejan de ser efectivas las restricciones “keynesianas” al perfecto funcionamiento de los mercados de bienes y factores. En consecuencia, la dinámica de esta economía puede analizarse a partir de la evolución de los factores de producción (trabajo y capital), considerando además el efecto del progreso técnico.

Más concretamente, el planteamiento del modelo puede analizarse partiendo de la determinación del nivel de producción en un período inicial, dado el stock existente de recursos y el nivel de conocimientos, y analizar después el ritmo de acumulación de los factores para obtener la tasa de crecimiento de la economía.

Supuestos sobre la función de producción

La función de producción agregada establece la relación entre el volumen de factores de producción que se utilizan en el conjunto de la economía y el PIB que se obtiene, dada la tecnología disponible. Los factores de producción son el capital (K) y el trabajo (L), mientras que el nivel de conocimientos técnicos alcanzados, o de eficiencia, se recoge en la función de producción con el término A:

Y = F (K, L, A)

Los cambios a lo largo del tiempo en A representan el progreso técnico. El PIB puede crecer también si se acumula más capital, o crece la población activa, que coincide con la empleada gracias a la flexibilidad del mercado de trabajo.

Solow supuso que la función de producción tenía las siguientes características, que se denominan “condiciones de buen comportamiento”:

• — Rendimientos decrecientes para cada factor de producción por separado.
• — Rendimientos constantes a escala. Si se duplica la cantidad de trabajo y de capital simultáneamente, la producción total también se multiplica por dos. Los rendimientos serían crecientes a escala si quedase multiplicada por un factor mayor de 2.
• — Necesidad de utilizar una cantidad positiva de ambos factores de producción para obtener una producción positiva.
• — Productividad marginal del capital nula cuando la relación capital trabajo tiende a infinito, y productividad marginal del capital infinita cuando la relación capital trabajo tiende a cero.

Una función de producción que cumple todos estos supuestos es la función de producción Cobb-Douglas, que toma la siguiente forma (donde α mide la elasticidad de la renta respecto al capital, y (1-α) respecto al trabajo):

Y = A x K^α x L^(1-α)

Como lo importante en una economía es medir cómo evoluciona la renta en relación al crecimiento de su población, esta función de producción suele representarse en términos per capita, dividiendo por las unidades de trabajo. Las magnitudes per capita se escriben en minúscula:

y = A x k^α

Finalmente, añadimos a estos supuestos tecnológicos otro supuesto adicional sobre el comportamiento de los mercados, que permite determinar cuál es el nivel de producción del período: el stock de capital siempre se utiliza plenamente, y se combina con cantidades variables de trabajo en función de la evolución de los precios relativos de los factores. Se supone, no obstante, que también hay siempre pleno empleo del trabajo, por la perfecta flexibilidad del salario real.

Supuestos sobre la evolución de los factores de la producción

El resto de supuestos del modelo se refieren a la variación en el tiempo de los factores de producción y al progreso técnico. Son los siguientes:

• — El progreso técnico se produce a una tasa constante y exógena al modelo (γ).
• — La población crece a una tasa constante y exógena (n). Este crecimiento de la población se identifica con el crecimiento de la oferta de trabajo.
• — El ahorro total (S) y la inversión total (I) representan una proporción constante de la renta del período (s). El aumento total del capital (ΔK) se obtiene restando a esta tasa de inversión la depreciación o desgaste del capital, medido por δ:

  S = I = s x Y

  ΔK = (s x Y) - (δ x K)

Aquí se está suponiendo implícitamente que la rentabilidad (productividad marginal) y el coste (tipo de interés) del stock de capital se modifican siempre hasta el punto en que la demanda de inversión es exactamente igual a la fracción de renta que se ahorra. Se cumple, por tanto, la Ley de Say, y el ahorro determina la inversión gracias a las variaciones del tipo de interés, al contrario que en el caso keynesiano, en el que la inversión determina el ahorro por los cambios en el nivel de renta.

Dinámica de la economía sin progreso técnico

Las dotaciones iniciales de capital y de trabajo, y el stock inicial de conocimientos, determinan el nivel de producción de la que parte la economía, a través de la función de producción.

Como el ahorro y la inversión son siempre una fracción constante del producto, se puede saber también en cuánto se habrá incrementado el capital en el período siguiente, y esta tasa de acumulación permite conocer, junto al crecimiento exógeno de la población y el progreso técnico, cuánto habrá crecido la producción.

Obviamente, como n y γ son constantes al modelo, la evolución en el tiempo de la tasa de crecimiento puede analizarse estudiando únicamente las variaciones en la tasa de acumulación (crecimiento del capital). Una primera idea del modelo es precisamente la importancia del crecimiento del capital en el proceso de crecimiento económico.

Si se razona en términos per capita y suponiendo inicialmente que no hay progreso técnico (por ejemplo, A=1) la función de producción muestra que la renta por trabajador es una función de la relación capital trabajo:

y = k^α

Por tanto, la renta per capita solo crece si lo hace el capital por trabajador, lo que a su vez depende de la diferencia entre la tasa a la que aumenta el capital y la tasa a la que crece la población:

Δk/k = ΔK/K - n

Ya se ha visto que la tasa a la que aumenta el capital depende del ahorro, pero restándole la depreciación:

ΔK/K = [(s x Y) - (δ x K)] / K

Para que el stock de capital crezca, la inversión debe ser la necesaria para compensar la depreciación. Y para que lo que crezca sea la relación capital-trabajo, deberá compensar además el crecimiento de la población:

Δk/k = [(s x Y) - (δ x K)] / K - n

Δk = (s x Y) - (δ+n) x k

Esta expresión es la ecuación dinámica fundamental del modelo de Solow, ya que permite obtener la evolución de las principales variables a partir del valor inicial de la relación capital trabajo. El incremento que experimenta la relación capital producto es la diferencia de dos términos: por un lado la inversión total por trabajador que se produce en el período, y, por otro lado, el valor que debería tomar la inversión total por trabajador precisamente para que la relación capital producto no se modificase, es decir, para compensar la depreciación y los aumentos de la cantidad de trabajo.

El Gráfico 1 permite representar la dinámica del modelo y la situación de equilibrio. En el eje de abcisas se representa la relación capital trabajo, y en el eje de ordenadas el output por trabajador, lo que permite representar en primer lugar la función de producción. Además, también se puede representar en ordenadas los dos términos de la ecuación dinámica, ya que ambos dependen, positivamente de la relación capital producto. Concretamente, la inversión total por trabajador es una fracción constante del producto por trabajador, y la inversión total por trabajador necesaria para que k se mantenga constante es directamente proporcional al propio valor de k, por lo que se representa por la recta que parte del origen, cuya pendiente es δ+n.

Cuando k es pequeño, la inversión es superior a la depreciación y al crecimiento de la población, por lo que tienden a aumentar tanto la relación capital trabajo como la renta per capita. Sin embargo, conforme va creciendo esta relación, los rendimientos decrecientes hacen que cada vez esta diferencia sea menor. La inversión por trabajador (dado s) acaba siendo insuficiente para seguir aumentando k, y se llega a una situación de equilibrio a largo plazo denominada “renta per capita de estado estacionario”. En este punto, como k es constante, también lo es y, lo que significa que la economía se estabiliza en una tasa de crecimiento que es exactamente igual a la tasa de crecimiento demográfico.

Una de las ideas importantes del modelo de Solow que pueden analizarse también a partir de esta ecuación es el efecto que tendrá sobre el nivel de renta per capita y sobre la tasa de crecimiento un aumento de la tasa de ahorro. Como puede verse en la ecuación y en el Gráfico 2, si se parte de un estado estacionario y aumenta la parte de renta que se ahorra (e invierte) el efecto inmediato será un aumento de la relación capital trabajo, la productividad y la renta per capita, que empieza a crecer a una tasa más alta. Sin embargo, este efecto sobre la tasa de crecimiento no será permanente y acabará agotándose por los rendimientos decrecientes. Se llega a un nuevo equilibrio a largo plazo, en el que la economía es más rica (porque se ha aumentado su productividad) pero en la que sigue creciendo exactamente a la tasa de crecimiento de la población.

¿Qué ocurriría entonces si lo que aumenta es la tasa de crecimiento demográfico? Según el modelo de Solow, esto supondrá a largo plazo una tasa más elevada de crecimiento de la renta en términos absolutos, pero no de la renta per capita. De hecho, el nivel de renta per capita del estado estacionario se habría reducido al crecer la población.

La consideración del progreso técnico

El estado estacionario de la sección anterior se corresponde con un nivel estable de la renta per capita y de la productividad. Sin embargo, uno de los hechos que caracterizan la evolución dinámica de las economías a largo plazo es que ambas magnitudes registran magnitudes positivas.

Para reconciliar el modelo con estos hechos es necesario introducir la existencia de progreso técnico, que se representa por la tasa γ a la que crece A, con lo que:

• — La tasa a la que crece la renta per capita de una economía a medio plazo (a más corto plazo dependería de los factores relacionados con el ciclo económico) depende positivamente del progreso técnico y del crecimiento del capital por trabajador (tasa de ahorro).
• — A más largo plazo, cuando la economía se encuentra en el estado estacionario, el crecimiento de la renta per capita sólo puede explicarse por la existencia de progreso técnico.

Esta idea tiene una gran importancia para entender los desarrollos posteriores de la teoría del crecimiento neoclásica, ya que la explicación del crecimiento a largo plazo que ofrece el modelo es un factor muy vago denominado “progreso técnico” que, además, no se explica en el propio modelo, sino que es una variable exógena al mismo. Por esta razón, este tipo de modelos se denomina en ocasiones “teoría del crecimiento exógeno”, para distinguirlos de otros posteriores que surgieron a partir de los años 80 del siglo XX y que se denominan “modelos de crecimiento endógeno”. En estos últimos, se trata de obtener la tasa a la que se produce el progreso técnico a partir de las decisiones económicas adoptadas por los agentes económicos en vez de suponer que se produce a una tasa dada.

Esta no es una cuestión de una importancia marginal, sino todo lo contrario, ya que los estudios empíricos realizados para medir la contribución de la relación capital trabajo y del progreso técnico al crecimiento per capita (llamados “contabilidad del crecimiento”) pusieron de manifiesto desde el principio que este último era el factor cuantitativamente más importante. Por ejemplo, sendos trabajos de los economistas M. Abramovitz y R. Solow mostraron que nada menos que entre el 80 % y el 90 % del crecimiento per capita de los Estados Unidos en la primera mitad del siglo XX no podía explicarse directamente por el incremento de la relación capital trabajo. Obviamente, estos resultados suponían una sorpresa importante para los investigadores, y el propio Abramovitz afirmó que esto era en realidad una “medida de nuestra ignorancia”: