Moda

Concepto

Se trata de una medida central de caracterización de una distribución de frecuencias (x_i, n_i).

Es el valor de la variable que más se repite y que, por tanto, presenta la mayor frecuencia. Se denota por Mo y para su cálculo se procede de forma distinta según sea una variable discreta o se presente en intervalos, bien sea continua o discreta.

Distribuciones no agrupadas en intervalos

Directamente se aplica la definición, es decir, la moda será igual al valor de la variable que tenga la frecuencia absoluta mayor (n_i).

La moda puede no ser única, es decir, que existan varios valores de la variable que se repitan el mismo número de veces y que este sea el mayor.

De la misma manera dependiendo de si tenemos en consideración toda la distribución o la acotamos a un rango determinado de valores, hablaremos de moda absoluta o modas relativas.

EJEMPLO 1: Dada la distribución siguiente, en la que se representan las edades de un grupo de 26 niños de Educación Infantil, obtener la más usual (la moda).

Se trata de una distribución bimodal, con modas 4 y 5 años (Mo = 4 y 5 años).

Distribuciones agrupadas en intervalos

Distinguimos dos casos: intervalos con amplitud constante o variable.

Intervalos con amplitud constante

Si todos los intervalos tienen la misma amplitud, la moda estará en el de mayor frecuencia, que será el intervalo modal.

Para el cálculo del valor concreto de la moda se pueden seguir varios criterios:

• — Tomar como moda el punto medio del intervalo, es decir, la marca de clase, Mo = x_i.
• — Considerar como moda, o bien el extremo inferior del intervalo modal, Mo = L_i-1, o bien el extremo superior, Mo = L_i.
• — O, suponiendo equidistribución de la frecuencia dentro del intervalo,

Siendo a_i la amplitud del intervalo i-ésimo correspondiente, en este caso igual para todos.

EJEMPLO 2: Dada la siguiente distribución referida a las calificaciones de un grupo de 25 alumnos, calcular la moda de dicha distribución.

El Intervalo Modal será [4, 6), cuya frecuencia absoluta n₃ = 10, la máxima de la distribución.

Calculamos la moda, por los diferentes criterios, siguiendo el mismo orden en el que fueron expuestos anteriormente:

Mo = x₃ = 5 puntos.

Mo = L_i-1 = 4 puntos, o bien Mo = L_i = 6 puntos.

EJEMPLO 3: Dada la distribución siguiente, en la que se representan las edades de un grupo de 26 niños de Educación Infantil, obtener la más usual (la moda).

Intervalos con distinta amplitud

Ahora, las frecuencias absolutas no son significativas para observar qué valor es el más usual; hay que recurrir al cálculo de las densidades de frecuencia de cada intervalo, que nos aportan el número de valores de la variable por cada unidad del intervalo, haciéndolos comparables.

La densidad de frecuencia se denota por d_i, y viene dada por la siguiente expresión:

Donde n_i es la frecuencia absoluta y a_i es la amplitud del intervalo i-ésimo correspondiente.

El intervalo modal será el que presente mayor densidad de frecuencia y, como ocurría antes, contendrá la moda, que se podrá calcular por cualquiera de los criterios antes dichos, cambiando las frecuencias por densidades en el último; luego:

EJEMPLO 4: Dada la distribución siguiente, en la que se representan la producción anual de 40 empresas, en miles de unidades, obtener la moda.

Calculamos la columna de densidades:

El intervalo modal será, [100, 200), donde d_i = 0,12, el valor más alto de las densidades.

Y para calcular la moda aplicamos uno de los criterios descritos; por ejemplo el último, así:

En distribuciones campaniformes se cumple que:

Propiedades:

• 1. Queda afectada por los cambios de origen; es decir, si a todos los valores de la distribución les sumamos una constante k, la moda de la distribución formada con los nuevos términos será igual a la original más dicha constante k. Esto es:

  Sea (x_i , n_i) una distribución de frecuencias con moda Mo, y k una constante; si construimos una nueva distribución de la forma (x´_i, n_i), mediante la transformación:

  x´_i = x_i + k

  la moda de la misma será:

  Mo´ = Mo + k

• 2. Queda afectada por los cambios de escala, es decir, si a todos los valores de la distribución lo multiplicamos por una constante k, la moda de la distribución formada con los nuevos términos será igual a la original multiplicada dicha constante k. Esto es:

  Sea (x_i, n_i) una distribución de frecuencias con moda, Mo, y k, una constante, si construimos una nueva distribución de la forma (x´_i, n_i), mediante la transformación:

  x´_i = x_i * k

  la moda de la misma será:

  Mo´= Mo*k

• 3. De estas dos últimas propiedades se deduce que: Dadas (x_i, n_i) e (y_i, n_i), distribuciones con modas, Mo y Mo´, respectivamente, tales que: y = a*x_i + b, entonces Mo´ = a*Mo+b.

VENTAJAS DE LA MODA:

• — En caso de distribuciones nominales, es la más representativa, puesto que los datos no necesitan ser ordenados para su cálculo.

INCONVENIENTES DE LA MODA:

• — No hace uso de toda la información, y pierde sentido en distribuciones multimodales.

RELACIÓN MEDIA ARITMÉTICA, MODA Y MEDIANA:

En distribuciones campaniformes, se cumple que:

• — Distribuciones simétricas:

  = Mo = Me

• — Distribuciones asimétricas positiva o a la derecha:

  Mo < Me <

• — Distribuciones asimétricas negativa o a la izquierda:

  < Me < Mo