Modelo binomial de valoración de opciones

Concepto

El primero en estudiar el método binomial fue William Sharpe, posterior premio Nobel de economía en 1990. El método binomial fue desarrollado con mayor profundidad en el artículo de Cox, Ross y Rubinstein titulado "El precio de las opciones: una aproximación simplificada", que apareció publicado en el Journal of Financial Economics en septiembre de 1979. Este modelo fue también deducido independientemente por Rendleman y Bartter.

Hipotesis

Las hipótesis básicas o de partida del método binomial, que se trata de un modelo discreto, son las siguientes:

• 1. Se suponen mercados de capitales competitivos y perfectos, en los que no hay impuestos, costes de transacción o limitaciones a la operativa en descubierto.
• 2. No existen restricciones sobre compras o ventas a corto plazo de títulos y opciones, por lo que el volumen de transacciones no afectará al precio de mercado de los títulos.
• 3. Existe una tasa de interés a corto plazo sin riesgo, rf, conocida, positiva y constante a lo largo del período considerado, lo que implica la posibilidad de prestar o pedir prestado dinero a ese tipo, o lo que es lo mismo, se supone la existencia de un bono libre de riesgo cuyo rendimiento es precisamente rf.
• 4. El horizonte de planificación está dividido en períodos de tiempo iguales (tiempo discreto).
• 5. La acción o activo subyacente no paga dividendos ni otro tipo de distribución de beneficios, reservas o capital.
• 6. El precio de la acción sigue un proceso binomial multiplicativo a lo largo de períodos discretos de tiempo.
• 7. La tasa de retorno de la acción solo puede tomar en cada momento dado del tiempo dos posibles valores: u-1 con probabilidad q y d-1 con probabilidad 1-q, (u>d).

Demostración matemática

Dado el objetivo de la presente enciclopedia, obviamos la demostración matemática de la fórmula que a continuación se presenta.

Fórmula Binomial de valoración del precio de una opción de compra CALL:

C = S · Φ(j > a;a,p) - E · r^-n · Φ(j > a;n,p´)

donde:

c = prima de la opción de compra.

S = precio actual de la acción.

E = precio de ejercicio de la opción.

r = uno más la tasa de interés sin riesgo.

n = nº de períodos que faltan para la expiración de la opción.

j = nº de movimientos ascendentes del precio de la acción (n-j movimientos descendentes).

Φ = complementaria de la función de distribución binomial (coeficiente corrector por la existencia de riesgo), que tiene la siguiente expresión:

p = (r-d)/(u-d); p = (u/r)p

a = Menor número entero que es mayor que: log (E/dnS) / log (u/d), si a>n, entonces c=0.