Convexidad de un bono

Concepto de convexidad

Una función es convexa en un punto cuando la tangente a la curva en dicho punto subestima el valor de la función en cualquier otro punto del entorno.

Ejemplo

El precio de un bono es función de los tipos de interés y una función decreciente; a medida que aumentan los tipos de interés, disminuye el precio de los bonos. La función citada es una función continua, de la cual nos interesa estudiar su naturaleza y en particular, estudiar su convexidad.

Si los tipos de interés al plazo de vencimiento del activo pasan de “r₀” a “r₁”, el valor del activo pasaría de “V₀” a “V₁”, y como puede verse, supuesto que la función sea convexa,

V₂ < V₁

Siendo V₁ - V₂, la subestimación de la tangente respecto de la curva, a la cual nos hemos referido.

La condición necesaria y suficiente para que una función sea convexa es que la segunda derivada de la función sea positiva, de acuerdo con un teorema de las funciones convexas. La sensibilidad es la primera derivada de esta función, y coincide con la tangente a la curva en el punto considerado. La segunda derivada, primera derivada de la sensibilidad, nos indica cómo varía esta a variaciones de los tipos de interés.

Es evidente que una función será tanto más convexa, cuanto mayor sea la subestimación a la que nos hemos referido.

La expresión matemática más adecuada para expresar la convexidad es la segunda derivada del precio respecto de los tipos de interés, tal y como indicamos antes:

Obviamente nos interesará, a igualdad de precio, adquirir el bono más convexo:

ya que si los tipos de interés disminuyen, de “r₀” a “r₂”, el valor del bono 2, se incrementa más que el valor del bono 1; y si los tipos de interés aumentan de “r₀” a “r₁”, el valor del bono 2 disminuye, pero menos que el valor del bono 1.