Concepto
La senda de expansión o trayectoria de expansión es el lugar geométrico de los factores (L, K) tales que representan el mínimo coste necesario para obtener cada nivel de producción o bien la máxima cantidad de producto obtenible para cada nivel de costes, dados los recursos disponibles y la tecnología. En otras palabras, la senda de expansión es el conjunto de puntos que expresan el equilibrio del productor tanto desde la maximización de la producción (o isocuanta) dado un cierto nivel de costes (es decir, dada una isocoste), como desde la minimización del coste (isocoste mínima) dado un cierto nivel de producción (es decir, fijada una isocuanta). Lógicamente, los puntos de una senda de expansión deben dar lugar a la curva de costes a Largo plazo de la empresa.
La senda de expansión en una función Cobb Douglas
En una función de producción de tipo Cobb Douglas X = AKαLβ el equilibrio dados unos niveles de Costes, C, y Precios, PL, PK, se obtiene a partir de las ecuaciones anteriormente indicadas para el Equilibrio del Productor, es decir,
(I) 
de donde 
. De aquí podemos deducir una expresión para una de las dos variables, por ejemplo, 
que podemos sustituir en la expresión de la Recta isocoste:
(II) C= PL L +PK K, con o que la combinación (L, K) de equilibrio es:
Tomando la expresión obtenida de (I) , vemos que 
, es decir, que los equilibrios se disponen a partir de un ratio K/L de forma constante (pues 
). Esta propiedad se denomina Homoteticidad y explica que los equilibrios en las funciones de producción homotéticas (y la Cobb Douglas lo es), siempre se disponen a lo largo de una recta que sale del origen (es decir, de un cierto ratio K/L).
Esta es una importante propiedad que explica, por ejemplo, por qué es más barato producir a largo que a corto plazo, ya que a largo plazo el productor puede situarse a lo largo de sendas de expansión que salen del origen en línea recta, y que se denominan isoclinas), mientras que a corto plazo debe hacerlo a través de rectas horizontales, pues debe dejarse fijo el capital, incurriendo en mayores isocostes y salvo en el punto de tangencia (en nuestro ejemplo para X=10), para cualquier otra producción que se consiga a Corto Plazo con un nivel de Capital K*, para las demás producciones, el Corto Plazo resulta más caro, pues su regla no es minimizar los costes sino utilizar una cierta cantidad de capital.
Recuerde que...
- • La senda de expansión es el conjunto de puntos que expresan el equilibrio del productor tanto desde la maximización de la producción como desde la minimización del coste.
- • Representan el mínimo coste necesario para obtener cada nivel de producción o bien la máxima cantidad de producto obtenible para cada nivel de costes.