Percentil

Concepto

Medida de posición de una distribución de frecuencias de una población a la que caracterizan. Son los valores que dividen a la distribución en 100 partes iguales, cada una contiene el 1 % de las observaciones.

Si hablamos del percentil de orden α, se denota por Pα, y representa el porcentaje de la población en estudio que tiene un valor inferior a α%.

También se llaman centiles. En una distribución total hay 99 percentiles.

Se cumple que:

Mediana = 2º cuartil = 5º decil = 50º Percentil (Me = C₂ = D₅ = P₅₀).

Luego, si hablamos del Percentil 75 (P₇₅), será un valor de la variable, o dentro del rango de los valores de la variable, que deja por debajo de él al menos el 75 % de los datos de la distribución.

Cálculo

Se procede de forma distinta según sea una variable discreta o continua.

Variable discreta

Sea una distribución discreta con N observaciones, ordenados los datos de menor a mayor según su valor, y donde Ni representa la frecuencia absoluta acumulada de orden i-ésimo, entonces, si queremos calcular el percentil α-ésimo (P_α), procedemos:

• a) Se calcula (α/100)*N.
• b) En las frecuencias absolutas acumuladas se busca el N_i > (α/100)*N, dos posibilidades:
  • - Si se cumple la igualdad, algún valor de N_i vale (α/100)*N, entonces, el valor de Pα es la media aritmética entre los valores de x correspondientes a N_i (x_i) y a N_i+1 (x_i+1), es decir, (x_i + x_i+1)/2.
  • - Si no, el percentil será el x_i correspondiente al primer valor de N_i estrictamente mayor que (α/100)*N.

Variable continua o discreta agrupada en intervalos

Sea una distribución con N observaciones, ordenados los de menor a mayor según su valor, de variable continua o discreta agrupada en intervalos de la forma (L_i-1, L_i], con amplitud c_i, donde N_i representa la frecuencia absoluta acumulada de orden i-ésimo, entonces, si queremos calcular el percentil α-ésimo (Pα), procedemos así:

• a) Se calcula (α/100)*N.
• b) Determinación del intervalo correspondiente al percentil α-ésimo, que será aquel que presenta la primera frecuencia acumulada (N_i) mayor que (α/100)*N, dos posibilidades:
  • - Si coincidiese exactamente con (α/100)*N, P es el extremo superior del intervalo: P_α = L_i.
  • - Si no, y suponiendo que los valores de la variable están uniformemente distribuidos dentro del intervalo mediano, para calcular el valor de percentil se aplica la siguiente fórmula:

Donde:

L_i-1 = Límite superior del intervalo mediano.

N = Número de observaciones total.

n_i = Frecuencia absoluta correspondiente al intervalo i-ésimo.

N_i-1 = Frecuencia absoluta acumulada correspondiente al intervalo (i-1)-ésimo.

C_i = Amplitud del intervalo i-ésimo.

Ejemplos

1. Dados los siguientes datos, calcular percentil 45 (P₄₅):

0, 10, 10, 40, 30, 20, 30, 30, 20, 20, 30, 10, 20, 20,10.

Construimos la tabla de distribución de frecuencias:

Donde:

X_i = Valor i-ésimo de la varible.

n_i = Frecuencia absoluta del valor x_i.

N_i= Frecuencia absoluta acumulada de valor x_i.

Calculamos:

(α/100)*N = (45/100)*15 = 6,75

Comparamos el resultado con la frecuencia absoluta acumulada (N_i), luego:

N₃ = 10 > 6,75.

Por lo tanto, el percentil 45 vale P₄₅ = x₃ = 20.

Solución: P₄₅ = 20.

2. Sea la distribución de frecuencias siguiente:

Se pide dar el valor del percentil 52 (P₅₂).

Identificamos el intervalo correspondiente a ese percentil:

Primero calculamos:

(α/100)*N = (52/100)*50 = 26.

Y comparamos el resultado con la frecuencia absoluta acumulada (N_i), luego:

N₄ = 27 > 26.

Así, (25,32] es el intervalo correspondiente al P₅₂.

Por lo tanto, el percentil 52 vale:

Solución: P₅₂ = 30,25.