Variable aleatoria

Concepto

Cuando se diseña un experimento y se repite en las mismas condiciones puede ocurrir que siempre se obtenga el mismo resultado o que éste varíe. En el primer caso, se habla de experimentos deterministas, ya que el resultado está determinado a priori, tanto por el diseño como por las condiciones iniciales. En el segundo caso, se habla de experimentos aleatorios, ya que es imposible determinar a priori cuál de los posibles resultados se va a producir pero existe una ley de regularidad, que rige la frecuencia con la que se obtiene cada uno de ellos.

En muchos casos, el interés no es tanto el resultado del experimento como una característica numérica que lo resuma. Así, se define una variable aleatoria X como una función que asigna a cada resultado posible de un experimento aleatorio un número real. De forma análoga, se puede decir que una variable es aleatoria cuando su valor concreto depende del resultado de un experimento aleatorio o, más abreviadamente, cuando su valor concreto depende del azar.

La ley o principio de regularidad de una variable aleatoria no permite obtener qué resultado concreto se presentará, pero rige la distribución de resultados cuando se repite en idénticas condiciones el experimento aleatorio. Dicha regularidad se resume en la llamada distribución de la variable, que permite establecer la probabilidad con la que se puede presentar cada valor, o conjunto de valores, de una variable.

Una variable aleatoria X está caracterizada por el conjunto de valores que puede tomar, denominado rango, y sobre todo, por su distribución. Así, si el rango es un conjunto finito o infinito numerable, se dice que la variable aleatoria es discreta. Si el rango es un intervalo real (o conjunto de intervalos), la variable se denomina continua.

Variables aleatorias discretas

En el primer caso, el interés está en la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor particular x, representado por P(X = x). La distribución de probabilidad de X será entonces la descripción del rango y de la probabilidad asociada con cada uno de estos valores, denominada función de cuantía o masa de probabilidad. Esta función de cuantía debe cumplir dos condiciones básicas:

1.- P(X = x) debe estar entre 0 y 1 para todo valor x.

2.- La suma de todos los valores ha de ser la unidad,

La acumulación de valores de la función de cuantía recibe el nombre de función de distribución, F(x) = P(X≤x) = y permite caracterizar también el comportamiento aleatorio de una variable.

Aunque el comportamiento de una variable aleatoria está definido por su distribución (bien a través de la función de cuantía o de la función de distribución), en muchos casos resulta más útil conocer algunas medidas que resumen parte de la información contenida en la distribución.

La primera de dichas medidas es el concepto de esperanza de una variable aleatoria. Se denota por E[X] y se define como la media ponderada de los valores de la variable por la probabilidad de ser obtenidos, es decir:

Como se observa, es un promedio de los valores de X, por lo que a veces recibe el nombre de media de la variable aleatoria. Esta característica resume cuál es el valor esperado de la variable, en el sentido de ser el promedio de muchas repeticiones del experimento aleatorio, por lo que es una medida de posición central.

Evidentemente, no siempre se va a obtener como resultado de una variable su esperanza, por lo que tiene interés cuantificar la dispersión de los valores respecto a esta medida de posición. Surge así el concepto devarianza de una variable aleatoria, representada por V(X) y definida como:

Es decir, la varianza es el valor esperado o promedio de la distancia entre los valores observados y la esperanza al cuadrado. Para evitar que dicha distancia esté expresada al cuadrado, se suele utilizar la raíz cuadrada de la varianza, que recibe el nombre de desviación típica o desviación estándar.

Variables aleatorias continuas

En otros casos, el rango de la variable aleatoria está formado por uno (o varios) intervalos. En este caso, la acumulación total de probabilidad debe seguir siendo la unidad, por lo que no es posible asignar una probabilidad positiva a cada uno de los (infinitos) valores de la variable. Sí es posible definir sin problemas la función de distribución, F(x) = P(X≤x) ya que ésta asigna probabilidades a intervalos. Al ser el rango de X un intervalo, la función de distribución resulta ser continua, por lo que es posible derivarla, obteniendo el concepto de función de densidad:F´(x) = f(x)

Esta función sustituye al concepto de función de cuantía, ya que es posible obtener la función de distribución como acumulación de la de densidad, sólo que sustituyendo la suma por la integral:

Es decir, si la función de cuantía representaba cuánta probabilidad se asignaba a cada posible valor de X, la función de densidad es su versión continua, representando cuál es la densidad que correspondería a cada punto.

La distribución de probabilidad de X vendrá entonces representada por el rango y la función de densidad. Ésta debe cumplir dos condiciones, similares a las del caso discreto:

1.- f(x)≥0 para todo valor real x.

2.- La integral extendida a todos los valores reales ha de ser la unidad,

También en este caso resulta útil conocer algunas medidas sobre la variable aleatoria. Ahora, las expresiones para calcular la esperanza y varianza son:

Modelos probabilísticos para variables aleatorias

A la distribución probabilística de una variable aleatoria se le denomina también modelo probabilístico de la variable. En muchas de las situaciones prácticas que se presentan, la distribución de la variable aleatoria pertenece a un conjunto, relativamente pequeño, de posibles alternativas para la función de cuantía o de densidad, según sea discreta o continua respectivamente. Así, la determinación de cuál es la distribución de una variable aleatoria se reduce, en la inmensa mayoría de los casos habituales, a elegir de entre ese pequeño grupo de modelos de probabilidad, cuál se adapta a las características de la variable estudiada.

En el caso de variables discretas, los modelos más utilizados son el Binomial, el Binomial Negativo, el de Poisson, el Hipergeométrico o el multinomial. En el caso de variables continuas, las distribuciones más utilizadas son la uniforme, la exponencial, la gamma, la beta y, sobre todo, la distribución normal y sus derivadas (t-student, Chi-cuadrada, F-Snedecor, etc.) La exposición de las características de todos estos modelos excede el objetivo de esta entrada, por lo que se remite al lector interesado a cualquier manual de probabilidad, ya que la inmensa mayoría tratan los modelos comentados.