Probabilidad

Concepto

La Estadística se puede entender como un ente que proporciona reglas de comportamiento para ordenar las decisiones que se pueden adoptar cuando prevalecen condiciones de incertidumbre. La existencia de incertidumbre genera en el hombre el deseo inmediato de su medición, de su acotación, y se puede presentar la probabilidad como una medida de esa incertidumbre, incertidumbre que, por otra parte, puede ser debida simplemente al puro azar o a nuestra ignorancia acerca del comportamiento de la naturaleza.

Dicho lo anterior, a continuación se trata de conceptualizar y formalizar esta medida, la probabilidad, que será la base de referencia de los desarrollos de las técnicas decisorias.

Formalizando lo anteriormente expuesto, de la observación de la naturaleza se pueden distinguir dos tipos o categorías de fenómenos: los deterministas y los aleatorios. Los primeros son aquellos que al manifestarse en unas condiciones dadas dan un único resultado que puede saberse de antemano (por ejemplo, la formación química del agua). Los segundos son los que al manifestarse en unas condiciones dadas pueden dar uno de varios resultados conocidos de antemano, sin que a priori sepamos cual de ellos va a ser (un ejemplo clásico es el lanzamiento de un dado). La probabilidad se circunscribe a este último tipo de fenómenos: como la aleatoriedad genera incertidumbre, la probabilidad nace como medida de dicha incertidumbre: ya que no sabemos cual va a ser el resultado de nuestro experimento, por lo menos estaremos interesados en cuantificar qué posibilidades tiene de acontecer un resultado. Yendo un poco más allá, los fenómenos aleatorios pueden ser susceptibles de probabilización o no, y en caso de que lo sean diremos que son fenómenos estocásticos.

Ahora las dos preguntas inmediatas son las siguientes:

• — ¿Qué requisitos formales debe cumplir la probabilidad?
• — ¿Cómo proceder a su determinación?

La respuesta a estas dos preguntas constituye el objeto de las secciones tercera y cuarta. Sin embargo, previamente, se expondrán algunos conceptos fundamentales necesarios para el mejor entendimiento de dichas secciones.

Modelo matemático de una familia de sucesos aleatorios

Si nos preguntásemos por la realidad del fenómeno tirar el dado seguro que, en principio, plantearíamos una realidad primitiva como la que se muestra en la Fig. 1.

Pues bien, estos son solamente los comportamientos elementales o resultados del fenómeno tirar un el dado, y al conjunto de todos los comportamientos elementales o individuales (resultados) de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral o espacio de los comportamientos: E = {e₁, e₂, ..., e_n}. En el caso del lanzamiento de un dado se tiene que E = {1,2,3,4,5,6}.

Sin embargo, la realidad del fenómeno tirar el dado es más amplia. Podríamos preguntarnos por la probabilidad de obtener un número par, o impar, o mayor que 2, etc. Pues bien, ser par o impar o mayor que 2 también son partes de esa realidad que estamos estudiando y se denominan sucesos. Así, cualquier conjunto de comportamientos elementales constituye un suceso. Se incluyen los subconjuntos impropios (∅ suceso imposible y E suceso seguro).

En particular, el número de sucesos que agrupa una realidad estocástica es 2ⁿ, siendo n el número de comportamientos elementales del fenómeno o resultados.

Una colección A de sucesos es un Álgebra de Boole si cumple que:

donde la letra S denota sucesos y S^c representa el complementario del suceso S.

En caso de que dicha colección verifique que la unión de una cantidad no finita de elementos pertenecientes a la misma es un suceso contenido en ella, se dirá que tiene estructura de Álgebra-σ. Pues bien, esta es la estructura matemática de sucesos idónea para estudiar cualquier experimento aleatorio y para proceder al cálculo de probabilidades.

Axiomática del cálculo de probabilidades

Como ya se avanzó en el primer epígrafe, ahora es el momento de dar respuesta a la siguiente cuestión: ¿Qué requisitos formales debe cumplir la probabilidad?

Pues bien, la probabilidad es una medida completamente aditiva (este concepto se puede pasar por alto sin menoscabo de la comprensión del concepto) definida sobre un Álgebra-σ de sucesos, A. Esta función de medida, que, a partir de ahora representaremos por P, determina la estructura estocástica o espacio probabilístico (E, A, P) donde E, el espacio muestral, indica de qué fenómeno se trata y A muestra cuáles son los sucesos del fenómeno que se consideran.

En consonancia con esta concepción formal, Kolmogorof define la probabilidad como una función (medida) que se define sobre un Álgebra-σ sucesos, A, y que cumple los siguientes axiomas:

(a) P(S) ≥ 0, ∀S ∈ A

(b) P (E) =1

(c) Dada una sucesión infinita numerable de sucesos disjuntos dos a dos,

Concepciones de la probabilidad

Ya se han expuesto los requisitos formales que debe cumplir la probabilidad, pero ¿cómo proceder a su determinación? Esta no es una tarea ni mucho menos trivial y ha dado lugar a las denominadas "concepciones de la probabilidad".

Concepción clásica o de Laplace

Propuesta por Laplace en 1812 en su obra "Theorie Analytique des Probabilités" constituye el primer intento, con algún rigor matemático, de aprehender este concepto. Reza así: "Si un suceso puede ocurrir de n maneras mutuamente excluyentes e igualmente verosímiles y si n_A de éstas representan un atributo A, la probabilidad de A es . Es decir, la probabilidad es la razón entre el número de resultados favorables del evento respecto del número total de resultados posibles, si suponemos que cada uno de ellos es igualmente probable".

A modo de ejemplo, la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado salga un número impar es 0,5, ya que el número de casos favorables sería 3 (el uno, el tres y el cinco) mientras que el número de casos posibles serían 6 (los seis resultados que contiene el dado).

Las probabilidades determinadas mediante la concepción clásica se denominan probabilidades a priori, ya que, por ejemplo, en el caso anterior, no es necesario lanzar el dado para obtener la probabilidad de obtener número impar. A priori se sabe cuál es dicha probabilidad.

No obstante, este concepto de probabilidad presenta las siguientes limitaciones:

(a) La definición exige que los posibles resultados sean igualmente verosímiles. Por consiguiente, por ejemplo, no se podría calcular la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda trucada.

(b) También es necesario conocer de antemano "todos los resultados posibles". Si no se da este supuesto o si el número de casos posibles es infinito, necesitaremos un tratamiento diferente para la determinación de la probabilidad.

(c) La concepción de Laplace tampoco responde a preguntas tales como ¿cuál es la probabilidad de que un niño nacido en Chicago sea varón? ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara luzca al menos durante 1.000 horas?

Concepción frecuencial o de Von Mises

La teoría frecuencial soluciona algunas de las limitaciones de la concepción clásica de la probabilidad. Se basa en la empírica estabilidad de las frecuencias relativas. Supóngase que se realiza el experimento aleatorio de lanzar un dado, siempre en las mismas condiciones iniciales. Supóngase también que se tiene interés en que salga una puntuación menor que 3. Para determinar la probabilidad de este suceso se procede como sigue:

(a) Se arroja el dado N₁ veces, siendo la frecuencia absoluta del suceso n₁, y la frecuencia relativa .

(b) A continuación se repite el experimento pero arrojando el dado N₂ veces (N₂ > N₁), obteniendo una frecuencia absoluta n₂ y una frecuencia relativa .

(c) Procediendo de esta manera, incrementando el número de tiradas en cada tanda, obtendremos la sucesión de frecuencias relativas: tal que N₁ < N₂ < N₃ < N₄ < N₅.

Representando gráficamente esta secuencia (Fig.2) se observa que a medida que aumenta el número de tiradas en cada tanda, la frecuencia relativa del suceso de interés tiende a estabilizarse alrededor de un determinado valor (en este caso 1/2). En base a esta experiencia se puede establecer la siguiente definición de probabilidad: La probabilidad es el valor hacia el cual tiende a estabilizarse la frecuencia relativa cuando el número de observaciones es suficientemente grande.

Las probabilidades determinadas mediante la concepción frecuentista se denominan probabilidades a posteriori, ya que la probabilidad de un determinado suceso se obtiene tras un proceso de experimentación.

Este concepto de probabilidad no es válido para el tratamiento de fenómenos aleatorios que no son susceptibles de experimentación repetidas en idénticas condiciones. Ello sugiere ampliar el concepto de probabilidad.

Concepción logicista

Establece que la noción de probabilidad debe basarse en la relación lógica entre hipótesis y experiencia. Fue propuesta, entre otros, por Keynes, Ramsey y Koopman, y su comprensión es harto dificultosa.

Concepción subjetiva o personalista

Cuando no se dispone de información de corte experimental acerca del fenómeno objeto de estudio, la posición que se adopta ante el mismo puede ser identificada a la de un jugador que se enfrenta a la necesidad de tomar decisiones en un juego. En este sentido, se denomina grado de creencia en el acaecimiento de un suceso S, o probabilidad subjetiva del mismo, a la relación por cociente entre la apuesta que realizaría por el mismo (lo que arriesga el jugador) y el premio que recibe en caso de ganar dicha apuesta.