Filtrado de series temporales

Concepto

El filtrado de series temporales se utiliza para extraer componentes de interés económico dentro de cada serie temporal. Habitualmente estos componentes suelen interpretarse como el componente de tendencia-ciclo (a veces se extrae el ciclo separado de la tendencia), el componente estacional y el componente irregular. La teoría matemática utilizada en el diseño del filtro de series temporales está basada en la extracción de señales y el análisis en el dominio de las frecuencias.

Medias móviles

En la mayor parte de ocasiones la evolución de las series económicas observadas se rige por una serie de componentes no observables (véase "Descomposición de series temporales") con distinto perfil cada uno de ellos. Así, la evolución a largo plazo viene determinada por la tendencia de la serie mientras que los movimientos de un período medio (entre 2 y 8 años habitualmente) suelen considerarse movimientos cíclicos. Por otro lado los movimientos de la serie asociados con distintos períodos del año se atribuyen al componente estacional y los movimientos de corto plazo sin un patrón establecido suelen considerase como componente irregular. Como estos componentes no son observables, para extraerlos a partir de la serie observada se suelen utilizar técnicas de filtrado basadas en el alisamiento de la serie original.

Una de las técnicas de filtrado más sencillas es la aplicación de las denominadas medias móviles. Como su nombre indica, la media móvil de una serie original se obtiene sustituyendo cada valor de la serie original por la media de los valores más cercanos. A modo de ejemplo, veamos como se obtiene la media móvil de orden 5 centrada de una serie Y_t:

Es decir, en cada período t hacemos una media del valor actual junto con los dos valores anteriores y posteriores respectivamente (5 términos). El hecho de centrar la serie (es decir, incluir tantos valores anteriores como posteriores al instante t) hace que la media móvil no esté desfasada o adelantada respecto a la serie original, por lo cual alcanza los máximos y los mínimos en el mismo período que la serie Y_t. Esto es muy importante si no queremos que, por ejemplo, el componente de tendencia-ciclo alcance los puntos de cambio en momentos distintos que la serie original.

En general, la media móvil tiene un efecto de alisar la serie original por lo que los movimientos de largo plazo (tendencias y ciclos) se aprecian mejor en la media móvil que en la serie original. Este efecto de alisado será mayor cuanto mayor sea el orden de la media móvil. Por ejemplo, una serie muy utilizada como indicador económico en el análisis de coyuntura es el índice de producción industrial o IPI. El gráfico de esta serie muestra que está compuesta por todos los movimientos anteriormente descritos:

En el primer gráfico se muestra la evolución del IPI original en el que se puede apreciar un fuerte patrón estacional, con caídas en verano, así como un movimiento de tendencia-ciclo combinado con anterior. Sin embargo, en la serie media móvil centrada de orden 12 (MM12Cent_IPI), debido al efecto de alisamiento, se ha suavizado mucho el patrón estacional y los movimientos irregulares por lo cual esta serie muestra mucho mejor la evolución de largo plazo del IPI que la serie original. La elección de un orden de la media móvil igual al patrón estacional (12 en este caso) permite filtrar los efectos estacionales para observar mejor la evolución de medio y largo plazo (tendencia-ciclo). El hecho de centrar la media móvil, permite que los máximos y mínimos se alcancen en los mismos períodos.

Modelos UC-ARIMA

Aunque, como hemos visto en el caso del IPI, la aplicación de medias móviles centradas de orden estacional puede ser un filtro adecuado para la obtención del componente de tendencia-ciclo, en muchas ocasiones las ponderaciones óptimas de la media móvil (el diseño óptimo del filtro) será distinto según sean las características de la serie en cuestión. Por ejemplo, parece lógico que, cuanto más alejadas estén las observaciones del instante t, las ponderaciones disminuyan (es decir, que en la media móvil de orden 12 pondere menos la observación t-6 que la t-1). Una forma de hacer depender el filtro de las características de la serie original es estimar un modelo ARIMA para cada componente de la serie; así se estima un modelo para el componente de tendencia-ciclo, otro para el estacional y otro para el irregular respectivamente. Posteriormente se obtienen las ponderaciones de cada filtro en función de los coeficientes del modelo ARIMA estimado. Esto es lo que hace la metodología UC-ARIMA (Unobserved Componentes-ARIMA) la cual permite obtener diseños de filtros distintos de cada serie según sea el mejor modelo ARIMA que se ajuste a la serie observada. Además esta metodología permite también obtener predicciones de cada componente o señal, lo cual resulta fundamental cuando se quiere analizar la coyuntura económica.

Aunque los detalles técnicos son complejos, la metodología UC-ARIMA está implementada en software libre a través del programa TRAMO-SEATS (disponible en la Web del Banco de España: www.bde.es) y X12-ARIMA (disponible en www.census.gov/srd/www/x12a). Ambos programas permiten obtener de forma automática los componentes no observables a partir de modelos ARIMA de la serie original. A modo de ejemplo, en el gráfico anterior se incluye la serie ajustada de estacionalidad, obtenida a partir de la descomposición TRAMO-SEATS, como la serie original menos el componente estacional (o, visto de otro modo, como el componente de tendencia-ciclo más el componente irregular). Como se puede apreciar claramente en la evolución de la serie SA_IPI, al eliminar el componente estacional del IPI original se muestran las evoluciones de largo plazo junto con algunos movimientos de corto plazo provocados por el componente irregular. De hecho, en el segundo gráfico se muestra la evolución de la serie ajustada de estacionalidad (SA_IPI) junto con la serie del componente tendencia-ciclo (TC_IPI) mostrando esta última una evolución más suave al eliminar también los efectos del componente irregular.

Finalmente, en el tercer gráfico se muestran las ponderaciones estacionales en cada período. Estas ponderaciones, obtenidas a partir de las técnicas de filtrado del TRAMO-SEATS, permiten obtener la serie ajustada de estacionalidad dividiendo la serie original por la ponderación correspondiente, es decir, . Por ejemplo, dado que los factores estacionales del mes de Agosto son claramente inferiores a la unidad, la serie SA_IPI tendrá mayores valores que la serie original IPI para estos meses de Agosto.

Técnicas de filtrado basadas en extracción de señales

Otras técnicas de filtrado especifican filtros basados en la teoría de extracción de señales dentro del dominio de las frecuencias. Así, los movimientos de largo plazo se identifican con frecuencias bajas y los movimientos de corto plazo con frecuencias altas. A partir de ahí se pueden diseñar filtros en el dominio de las frecuencias que permitan el paso de las frecuencias en las que estemos interesados. Por ejemplo, los filtros diseñados para extraer componentes de tendencia-ciclo permitirán el paso de frecuencias bajas y detendrán las frecuencias altas. Incluso estas técnicas pueden permitir separar los movimientos de la tendencia del ciclo si se considera que el ciclo corresponde a las frecuencias que están entre 2 y 8 años. Los filtros obtenidos con este tipo de diseños se denominan pasa-banda y su diseño suele ser técnicamente complejo aunque, de una forma creciente, se están incorporando al software econométrico.

Uno de los filtros más utilizados es el filtro de Hodrick-Prescott el cual está basado en las ideas anteriores. Matemáticamente, el filtro de Hodrick Prescott permite la obtención del componente TC_t minimizando respecto a este componente la siguiente expresión:

La expresión anterior permite obtener una evolución suave del componente TC_t. El parámetro λ es un parámetro que mide el grado de alisamiento (cuanto mayor sea más alisado será el componente TC_t obtenido). Habitualmente el valor se establece en función de la frecuencia de la serie, así se suele tomar λ=1600 en series trimestrales y λ=14400 en series mensuales aunque, en ocasiones, el valor del parámetro λ se cambia según cuales sean las frecuencias que queremos dejar pasar y cuales no (en general, cuanto mayor sea λ menos frecuencias deja pasar). A modo de ejemplo en el segundo gráfico de los vistos anteriormente se compara el componente de tendencia-ciclo obtenido con el filtro HP junto con el componente que habíamos obtenido con TRAMO-SEATS.

Para acabar, hay que señalar que, actualmente, una buena alternativa a los filtros anteriormente vistos (y también desarrollados en el dominio de las frecuencias) viene dada por el filtro de Butterworth y por el filtro de Baxter-King. Aunque los detalles técnicos son más complejos que en los casos anteriores, estos filtros tipo pasa-banda permiten, en principio, separar mejor los movimientos correspondientes a distintas frecuencias debido al diseño de sus funciones de respuesta a la frecuencia. Ello puede ser utilizado, por ejemplo, en la separación de los movimientos de tendencia y ciclo imputando los movimientos por debajo de 8 años al ciclo y por encima de esta cantidad a la tendencia.