Econometría financiera

Concepto

Es una rama de la ciencia económica que analiza los mercados financieros y los flujos que en ellos acontecen. Es decir, es un instrumento eficaz que permite utilizar diferentes modelos econométricos para estimar y cuantificar las posibles ganancias o pérdidas que se pueden producir en los mercados financieros cuando se realiza una inversión en algún activo financiero.

Importancia de la econometría financiera

La considerable expansión de los mercados financieros, que ha tenido lugar en las últimas décadas, así como, el incremento de la variedad y complejidad de los productos financieros, ha permitido el avance y la utilización de diferentes métodos econométricos para medir riesgos y explicar el comportamiento de los datos financieros.

Sin embargo, las peculiaridades de cada mercado, incluso de cada activo, hacen que no exista un único modelo que explique su comportamiento. Por esta razón, es muy importante que la econometría financiera utilice los modelos que permitan eliminar los posibles errores de especificación, o por lo menos, procurar que estos sean lo menores posibles y estén controlados.

Los modelos más utilizados por la econometría financiera son, por un lado, los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva y, por otro, los modelos de volatilidad estocástica.

La necesidad de este tipo de modelos se debe a que en una cartera de valores es necesario buscar activos que proporcionen al inversor un equilibrio entre las ganancias medias que piensa obtener y el riesgo esperado que está dispuesto a asumir. Desde un punto de vista econométrico, esto implica modelizar dos momentos: la media condicional y la varianza condicional.

La media condicional se modeliza de forma adecuada utilizando los modelos ARIMA propuestos por Box y Jenkins en 1976. Sin embargo, estos modelos no son adecuados para explicar el comportamiento cambiante de la varianza condicional a lo largo del tiempo. Ya que, suponen que esta, si el proceso es estacionario, se mantiene constante a lo largo del tiempo, pero en las series financieras la varianza condicional no se mantiene constante. Esto justifica la utilización de los modelos ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity), GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity)) y sus variantes, así como, los modelos de volatilidad estocástica y otros modelos no lineales.

En estos modelos, el riesgo se puede determinar y predecir a partir de la volatilidad de los activos, ya que, la volatilidad mide la capacidad de variación de los precios de un activo respecto de su media.

Tanto los modelos de heterocedasticidad condicional como los modelos de volatilidad estocástica tienen elementos en común (ya que recogen el exceso de curtosis, el agrupamiento de la volatilidad o la correlación de los cuadrados, así como, el hecho de que ambos modelizan simultáneamente la media y la varianza de la serie financiera objeto de estudio) pero, se diferencian básicamente en la forma de modelizar la volatilidad, ya que, mientras que en los primeros la varianza condicional depende del pasado de los errores observados de la variable, en los modelos de volatilidad estocástica, la volatilidad es una variable latente, no observable, que depende de una perturbación estocástica diferente de la perturbación incluida en la ecuación de la media. Ambos tipos de modelos serán descritos brevemente a continuación.

Modelos ARCH

Los modelos ARCH fueron propuestos por Engle en 1982. Estos modelos suponen que la varianza marginal o incondicional es constante y que la covarianza entre las variables en períodos de tiempo diferentes solo depende del tiempo que transcurre entre ellas, hecho que es necesario para que el proceso sea débilmente estacionario o estacionario en covarianzas, mientras que la varianza condicional no es constante. En estos modelos la varianza marginal puede interpretarse como un promedio de las varianzas condicionales.

Para plantear un modelo ARCH vamos a partir de una variable financiera, los rendimientos (y_t), calculados como la primera diferencia regular del precio de un activo en dos días consecutivos de mercado.

La expresión general que modeliza las características de las series de rendimientos es:

(1)

y_t = μ_t + σ_tє_t є_t~iid (0,1).

donde, μ_t representa la media (la cual puede ser cero, una constante distinta de cero o depender de varios regresores); σ_t es un factor que representa la volatilidad medida como la desviación típica condicional; є_t es la perturbación aleatoria (ruido blanco) que es independiente y está idénticamente distribuida (iid) con media cero, varianza unitaria y momento de orden cuarto finito. Esta perturbación es una medida del impacto de las noticias no incluidas en el conjunto de información.

Normalmente la media de los rendimientos suele ser cero y aunque podría plantearse una expresión más general para los rendimientos, sin embargo, en el contexto de medición de riesgos de mercado no suele ser habitual. El modelo no está preocupado tanto por realizar una predicción de los rendimientos, como por calcular su rentabilidad. Por eso, en muchos casos el horizonte suele ser a corto plazo (de uno a diez días).

El mayor esfuerzo de estos modelos se centra en la modelización de la varianza condicional, cuya expresión es la siguiente:

(2)

σ²_t = α₀ + α₁ є²_t-1 + ... + α_qє²_t-q.

Este modelo es un ARCH de orden q, ya que la varianza condicional está expresada como una función lineal de q valores observados pasados de la perturbación.

En los modelos ARCH(q) se exige que α₀>0, para evitar que el proceso degenere si en algún momento del tiempo la variable es igual a cero, y además, que los, α_i≥0, i=1,..., q, para garantizar que la varianza sea positiva. Esta ecuación implica que, si los valores pasados de є_t hasta el período t-1 son grandes, entonces la varianza de la observación en el período t condicionada al conjunto de información hasta t-1, también será grande. Además, si el valor de y_t es pequeño, disminuirá la varianza condicional de la observación siguiente y dará lugar a que la observación siguiente sea pequeña. Esto permitirá que la serie presente rachas de alta volatilidad alternando con otras de baja volatilidad y viceversa.

Este proceso y_t, donde σ²_t es un ARCH(q) es una martingala en diferencias y la media marginal y la media condicional son constantes e iguales a cero y está serialmente incorrelacionada. Además, su varianza marginal, (σ² = E (y²_t)), es constante e igual a,

donde, , para que esta varianza marginal exista y el proceso sea estacionario en covarianza.

Ejemplo. Vamos a plantear un ejemplo sencillo de estimación para un ARCH(1) utilizando los datos del EUROSTOXX50, en el período muestral comprendido entre el 01/01/1987 y el 31/12/2008.

Las ecuaciones estimadas de los rendimientos y de la volatilidad serían (entre paréntesis se ofrecen las desviaciones típicas estimadas):

La varianza incondicional sería:

Entonces, su desviación típica sería:

De esta forma, si en un día cualquiera T los rendimientos son altos, por ejemplo un 4 %, la varianza condicional en T+1 viene dada por la expresión:

La volatilidad sería:

Es importante destacar que hay veces que los modelos ARCH plantean problemas de estimación, ya que para muchas series financieras observadas se necesitaba un número elevado de retardos de la variable en la ecuación de la varianza condicional para recoger de forma adecuada la dinámica de dicha varianza y esto implica, en muchos casos, realizar un número elevado de iteraciones para alcanzar una solución o incluso puede ocurrir que no se encuentre la solución. Para tratar de solventar este problema Engle (1983) pensó en poner restricciones a los parámetros de un modelo ARCH(q) para simplificar su estimación, sin embargo, estas restricciones no eran aplicables a cualquier caso. Esto llevo a Bollerslev en 1986 a proponer los modelos GARCH (ARCH generalizado) para solventar los problemas de estimación de los modelos ARCH.

Modelos GARCH

Los modelos generalizados de heterocedasticidad condicional autorregresiva fueron propuestos de forma independiente por Bollerslev y Taylor en 1986. Al igual que los modelos ARCH son capaces de reproducir la alta persistencia de la volatilidad, los períodos de alta volatilidad seguidos de otros en los que la volatilidad es menor pero, necesitan menos parámetros que los modelos GARCH; además, la función de autocorrelación del cuadrado de la variable decrece más rápidamente en los procesos ARCH que lo observado en la realidad, lo que hace que en muchas ocasiones sean preferidos los modelos GARCH.

En este tipo de modelos, la varianza condicional depende de su propio pasado y del impacto de las innovaciones pasadas.

La ecuación general de la variable financiera, por ejemplo los rendimientos, es la misma que en los modelos ARCH (ecuación (1)). Sin embargo, se diferencian en la expresión de la varianza condicional, que para un modelo GARCH(p,q) es:

(3)

donde, p≥0 y q>0 indican el orden del proceso GARCH y representan, respectivamente, el número de retardos de la varianza condicional y el número de retardos de є²_t.

En este modelo para garantizar que la varianza condicional sea positiva y, además, que sea estacionario en covarianza es necesario que los parámetros cumplan las siguientes restricciones: α0 > 0 (coeficiente que recoge el término constante de la varianza condicional); α_i≥0 (coeficientes de los valores retardados de є²_t-i) para i=1,...,q; β_j≥0 (coeficientes de la varianza condicional retardada).

De la familia de modelos GARCH(p,q) el más utilizado en la práctica es el modelo GARCH(1,1), el cual se obtiene particularizando p=1 y q=1 en la ecuación (3),

σ²_t = α₀ + α₁є²_t-1 + β₁σ²_t-1

donde las restricciones que tienen que cumplir los parámetros de este modelo para garantizar que la varianza sea positiva son: α₀>0, α₁, β₁≥0. Cuanto mayor sea є_t-1 mayor será la varianza en el período siguiente. Además, el coeficiente β₁ hace que la varianza cambie con cierta inercia, lo que produce rachas de mayor variabilidad. Al valor obtenido como suma de α₁+β₁ se denomina persistencia y su valor estimado suele estar en torno a uno, lo que indica una persistencia alta de la volatilidad. Si α₁+β₁<1 el proceso es estacionario en covarianza y la varianza marginal será igual a:

Ejemplo. Utilizando los mismos datos que para un ARCH(1), las estimaciones de las ecuaciones de la volatilidad y de los rendimientos serían:

La varianza incondicional sería:

Por lo tanto, su desviación típica:

Si se supone que en un día cualquiera T los rendimientos son altos, por ejemplo un 4 %, y es 6, entonces la varianza condicional en T+1 sería igual a:

La volatilidad sería:

Tanto de los modelos ARCH como de los modelos GARCH ha surgido una amplia familia de modelos que tratan de captar, de la forma más adecuada posible, características de las series financieras tales como la asimetría, la memoria larga de la volatilidad, etc.

Una forma alternativa de modelizar el comportamiento de las series financieras es a través de la utilización de los modelos de volatilidad estocástica.

Modelos de volatilidad estocástica

El modelo de volatilidad estocástica autorregresivo (modelo ARSV) fue propuesto por Taylor en 1982 y establece que el logaritmo de la volatilidad es un proceso estocástico que se puede modelizar como un proceso autorregresivo de primer orden. De la familia de modelos ARSV, se va a desarrollar el más utilizado en la práctica que es el modelo de volatilidad estocástica autorregresivo de primer orden, modelo ARSV(1).

La ecuación genérica (conocida como ecuación de la media) de este tipo de modelos es:

(4)

y_t = μ_t + σ*σ_tє_t є_t~iid (0,1) t=1,...,N.

donde, y_t es la variable financiera objeto de estudio; μ_t representa la media que supondremos que es cero, aunque puede ser una constante o depender de varias variables explicativas; σ* es un parámetro de escala positivo que se incluye en la ecuación de la media para no tener que incluir en la ecuación del logaritmo de la volatilidad un término constante; σ_t representa el proceso estocástico de la volatilidad; є_t es la perturbación aleatoria que se supone independiente e igualmente distribuida con media cero, varianza unitaria y momento de orden cuarto finito.

Esto implica que, y_t, se define como un ruido blanco con varianza unitaria multiplicada por un factor de escala, σ*, y por el proceso de la volatilidad, σ_t, es decir, se modeliza como un producto de dos procesos estocásticos. Esta es una de las principales complicaciones que surgen a la hora de estimarlo.

La ecuación de la varianza de los modelos ARSV se especifica en forma exponencial para garantizar que esta sea positiva:

σ²_t = exp (h_t)

Lo que implica que ht es el logaritmo de σ²_t, es decir h_t= log (σ²_t).

El proceso estocástico que Taylor propuso inicialmente para ht fue un autorregresivo de primer orden:

(5)

donde, ф es el parámetro que relaciona la volatilidad de un período con la volatilidad del período anterior, por lo tanto, este parámetro se considera una medida de la persistencia de los shocks en la volatilidad. Se supone que está acotado entre menos uno y uno para garantizar que el proceso sea estacionario; η_t es la perturbación aleatoria de la ecuación de la volatilidad, la cual se supone que sigue una distribución Normal con media cero y varianza σ²_η. Este parámetro mide la dispersión del proceso estocástico que rige la volatilidad y, por lo tanto, la incertidumbre sobre las volatilidades futuras.

Las perturbaciones de la ecuación de la media, є_t, y de la ecuación del logaritmo de la volatilidad, η_t, son independientes.

La varianza marginal o incondicional de y_t es finita y viene dada por la expresión: σ²_y = σ²_x exp (0.5 σ²_h)

donde se aprecia que la varianza marginal de y_t, (σ²_y), depende de la varianza marginal de h_t, (σ²_h), y como el proceso es estacionario, entonces la varianza marginal del proceso del logaritmo de la volatilidad, se puede calcular como la de un proceso autorregresivo de primer orden y sería igual a: