Descomposición de series temporales

Concepto

Se denomina serie temporal, o serie cronológica, a un conjunto de observaciones de una misma variable ordenadas en el tiempo. Cuando se estudia de forma conjunta más de una variable, se engloban en forma de vector y se habla de serie temporal múltiple, generalizando el caso anterior.

La ventaja de una serie temporal reside en que, además de los valores que presenta la variable, se recoge su evolución temporal, aspecto dinámico que también tiene interés práctico. El primer intento de describir y comprender cómo evoluciona una serie temporal consiste en descomponerla en un conjunto de componentes no observables que sean fácilmente identificables y asignables a causas concretas; así, se podrían analizar características como el comportamiento general a largo plazo, la influencia de factores que se repiten periódicamente o el impacto de circunstancias anómalas. Así, se denomina descomposición de series temporales al proceso de identificar y calcular las diversas componentes existentes en una serie así como la forma en que estas se relacionan entre sí.

Los primeros métodos clásicos plantean la obtención de componentes de forma ad hoc, desarrollados de un modo empiricista y cuyo fundamento no queda muy precisado. Posteriormente se han introducido ciertos refinamientos basados en el empleo de modelos estadísticos, básicamente modelos autorregresivos y de medias móviles (ARMA), que permiten la estimación de las diversas componentes, como pueden ser los modelos UCARIMA (Unobserved Components ARIMA). Dado el carácter introductorio de este texto, se comentarán las componentes clásicas de una serie temporal, con indicación de los métodos básicos de obtención, y los principales esquemas de agregación empleados.

Componentes de una serie temporal

Clásicamente, se suelen distinguir cuatro grandes componentes en una serie temporal:

Tendencia (T)

Consiste en la evolución a largo plazo de la serie. Es usual encontrarse con series temporales que presentan un movimiento sostenido en la misma dirección durante un amplio período de tiempo, con independencia de pequeñas oscilaciones al alza o a la baja. La tendencia suele ser representada mediante curvas “suaves”, siendo habitual que se represente mediante funciones lineales, dando lugar a las rectas de tendencia.

Para la determinación de esta componente existen dos enfoques alternativos:

• a) Ajuste de curvas En primer lugar, se puede “ajustar” una curva suave que recoja el perfil de la serie, dando lugar a tendencias lineales, polinómicas, exponenciales, etc. Este planteamiento presenta la ventaja de proporcionar una ecuación analítica que permite extrapolar dicha tendencia a un futuro próximo, proporcionando una primera aproximación a la predicción de los valores de la serie. Por el contrario, la elección de la forma funcional determina drásticamente dicha extrapolación, por lo que una mala elección se traduce directamente en la mala calidad de las predicciones. Dentro de este enfoque, el método más sencillo, y origen de otros más elaborados, consiste en la estimación de una tendencia lineal por el método de mínimos cuadrados, originando la denominada recta de tendencia.
• b) Filtrado de series En segundo lugar, se puede intentar eliminar de la serie las componentes no deseadas, “filtrando” los datos originales, y sin presumir ninguna forma funcional para la tendencia. Dentro de este amplio campo, los filtros más utilizados por su sencillez son los lineales, que presentan buenos resultados cuando se trata de calcular la tendencia o de hacer predicciones a corto plazo. Entre los filtros lineales destacan las medias móviles, los filtros exponenciales (simple, doble y el método de Holt) y los modelos ARIMA.

Componente cíclica (C)

Está formada por fluctuaciones alrededor de la tendencia que se repiten de forma más o menos periódica y de amplitud superior al año. En muchas series es habitual encontrar factores que modifican lentamente los valores de la variable, produciendo alteraciones al alza y a la baja. Un ejemplo típico es el efecto que sobre series económicas presenta el ciclo general de crecimiento y recesión económica.

En la práctica, la distinción entre tendencia y componente cíclica es problemática ya que, en ambos casos, se está involucrando un amplio período de tiempo. Cuando se tienen pocas observaciones es difícil detectar los movimientos oscilatorios, confundiéndose estos con la tendencia. En otros casos, cuando la variable presenta un comportamiento cíclico pronunciado, la observación de pocos años puede ser confundida fácilmente con una tendencia al alza o a la baja. Por ello, algunos autores prefieren no diferenciar ambas componentes, englobando sus efectos en una única denominada ciclo-tendencia.

Componente estacional (E)

Engloba los movimientos oscilatorios alrededor de las componentes de tendencia y cíclica que se repiten de forma periódica y con amplitud inferior al año. Estas variaciones son atribuidas, en su mayor parte, a factores relacionados con las estaciones del año y de ahí su nombre. Todos estos efectos tienen en común la persistencia a lo largo de los años, lo que origina unos altibajos que pueden predecirse con relativa fiabilidad, por lo que incrementan el conocimiento que se tiene del fenómeno estudiado y permiten mejorar de forma apreciable las predicciones de valores futuros.

El interés que presenta esta componente puede ser doble: por un lado, proporciona información sobre el comportamiento a corto plazo de la serie; por otro, se puede plantear su eliminación para analizar mejor la marcha general del fenómeno estudiado. Este último proceso se conoce como desestacionalización.

Para la correcta determinación de esta componente hay que eliminar con anterioridad el efecto de la tendencia. Como este depende en gran medida del esquema de agregación de la serie, existen diferentes métodos según sea multiplicativo o aditivo. En el primer caso, y con la componente tendencial calculada previamente, el cociente entre la serie original y la serie de tendencia proporciona el efecto conjunto de la componente estacional e irregular, obteniéndose los denominados índices de variación estacional brutos (IVEb s). Bajo el supuesto de que la estacionalidad es estable, las diferencias entre IVEb s para el mismo período de distintos años se deberán a la componente irregular. En este caso, promediando dichos IVEb s se obtendría un valor medio que, normalizado, representa el efecto que la componente estacional tiene en cada período del año y que se denominan índices de variación estacional (IVEs). En aquellos períodos en los que el IVE sea superior a la unidad ello indicará que los valores observados son, en media, superiores a los de tendencia, indicando que la componente estacional actúa elevando los valores tendenciales. Por contra, en los períodos en los que el IVE sea inferior a la unidad la componente estacional actuará disminuyendo los valores tendenciales. Para la obtención de la serie desestacionalizada, basta con eliminar la componente estacional, dividiendo cada observación entre su IVE correspondiente.

Cuando el esquema de agregación es aditivo, se introducen ligeros cambios. Restando a los datos originales la componente tendencial se obtiene el efecto conjunto de las componentes estacional e irregular. Para aislar el efecto estacional, igual que en el método anterior, se calculan las medias para cada período. Las diferencias entre estas medias y la media global de la serie serán, por tanto, atribuibles exclusivamente a la componente estacional, constituyendo las denominadas diferencias estacionales. Su interpretación es análoga a la de los IVE solo que centrada en cero. Es decir, en aquellos períodos en los que la diferencia estacional sea positiva la componente estacional actúa, en media, elevando los valores respecto a los de tendencia. Si la diferencia estacional es negativa se producirá el efecto contrario, disminuyendo los valores respecto a la tendencia a causa de la componente estacional.

También es posible abordar el cálculo conjunto de las componentes tendencial y estacional. El filtro lineal conocido como método de Holt-Winters es una variante el alisado exponencial doble de Holt diseñado para realizar predicciones en series con tendencia aproximadamente lineal y con clara influencia de la componente estacional. Dependiendo del esquema de agregación elegido para la tendencia y la componente estacional, se habla del método de Holt-Winters multiplicativo o aditivo. En ambos casos, la componente irregular interviene aditivamente en el modelo.

Componente irregular (I)

También conocida como accidental, errática, aleatoria o residual. Consiste en movimientos irregulares y pasajeros provocados por factores esporádicos e imprevisibles. Son efectos impredecibles que no son asignables a ninguna de las componentes anteriores, por lo que constituyen el residuo que queda cuando se estiman las otras componentes.

Esquemas de agregación de una serie temporal

Para poder descomponer una serie temporal en sus componentes básicas es necesario decidir cómo se relacionan estas entre sí. En la práctica, es imposible conocer esta relación, por lo que hay que imponer, arbitrariamente, el esquema de agregación de las componentes. El criterio que se adopte debe reflejar, en la medida de lo posible, la naturaleza de las mismas; así, es preferible un esquema que proporcione una componente irregular sin ningún patrón de comportamiento visible; o, más importante aún, que proporcione medidas “representativas” de la componente tendencial y estacional. Tradicionalmente se han destacado dos formas de interrelación de las componentes:

Esquema multiplicativo

Supone que las componentes actúan entre sí de forma multiplicativa, por lo que la serie original resultará de la multiplicación de sus componentes:

Y = (T · C) · E · I

En este esquema, solo una de las componentes puede tener las mismas unidades que la serie original, eligiendo usualmente la componente tendencial. Por tanto, las otras dos deben estar expresadas en términos relativos, es decir, en proporción o porcentaje. En concreto, el efecto de la componente estacional será una proporción del valor de la tendencia. Si esta proporción se asume fija (como en los métodos más básicos), si la tendencia es creciente, el esquema multiplicativo conduce, en series con todos los valores positivos, a oscilaciones estacionales cada vez más amplias; en caso de que la serie presente todos los valores negativos, este tipo de esquema conduciría al efecto contrario: oscilaciones cada vez más pequeñas conforme avanza el tiempo. Si la serie presenta tanto valores positivos como negativos, a medida que se avanza en la escala temporal, las oscilaciones crecerían en los valores positivos y decrecerían en los negativos. Si la tendencia es decreciente, ocurriría justo lo contrario.

Esquema aditivo

En este caso se supone que las diversas componentes se relacionan aditivamente, por lo que la serie original resulta ser la suma de sus integrantes:

Y = ( T + C ) + E + I

Bajo este supuesto, todas las componentes vienen expresadas en las mismas unidades que la serie original. Aquí, la componente estacional presenta un efecto que no está referido al valor concreto que tome la tendencia, presentado oscilaciones de amplitud fija.

Aunque no son los únicos esquemas de agregación posibles, por su sencillez son los más utilizados y casi todos los métodos de análisis de series temporales están basados en uno de los dos. En realidad, cualquier serie que se estudie no tiene por qué adaptarse a priori a uno de los dos esquemas anteriores, por lo que se debe elegir el que parezca más apropiado.

Como en la práctica en primer lugar se estima la componente tendencial y posteriormente los efectos estacionales, la determinación del esquema más apropiado se suele reducir a decidir cómo se relacionan entre sí estas componentes.

Una primera forma de distinguir entre ambos esquemas está basada en la amplitud de la componente estacional. Como ya se ha indicado, una amplitud constante alrededor de la tendencia es más compatible con un esquema aditivo, mientras que si las oscilaciones van creciendo (o decreciendo) en el tiempo, parece más apropiado un esquema multiplicativo. Sin embargo, salvo en raras excepciones, este criterio resulta poco claro, ya que puede depender de la escala en que se represente la serie.

Un segundo enfoque, más analítico, está basado en la representatividad de los efectos estacionales. Supóngase que la serie es trimestral, lo que no resta generalidad ya que se puede extrapolar fácilmente para cualquier otra periodicidad. Para detectar los efectos estacionales se pueden comparar los valores de un mismo trimestre (i) para años consecutivos (k y k+1), bien a través de su cociente ci = yi,k+1 /yi,k o a través de su diferencia di = yi,k+1 -yi,k. [p1]Si el esquema es multiplicativo, los cocientes entre años consecutivos serán muy parecidos, ya que solo se diferenciarán por los efectos de la componente irregular, mientras que las diferencias variarán mucho más, ya que dependerán de qué año se esté utilizando. Por contra, si el esquema es aditivo, las diferencias si presentarán valores muy homogéneos, mientras que variarán más los cocientes. Así, una posible forma de distinguir entre ambos esquemas consiste en determinar qué distribución es más homogénea, la de los cocientes o la de las diferencias. Como medida de homogeneidad se utiliza habitualmente el coeficiente de variación de Pearson. Por tanto, si el coeficiente de variación de los cocientes es menor que el de las diferencias, se admite el esquema multiplicativo como más apropiado; en caso contrario, se concluye que es el aditivo el que mejor se ajusta a los datos.