Error aleatorio

Concepto

Se denomina error aleatorio a todo término de desajuste, discrepancia o imprecisión no deseada, cuyo valor es impredecible a priori pero sigue una distribución probabilística.

El origen de los errores aleatorios puede ser variado. En algunos casos se asume que son debidos a la variabilidad en la medición de variables por limitaciones en el proceso de medida, como ocurre en física, astronomía, etc. En otros casos, se atribuye al efecto de numerosos factores que resultan incontrolables o que no se incluyen en el estudio, como en el caso de modelos simplificados, en producción industrial o en estudios psicológicos. O, simplemente, se asume que existe un grado de incertidumbre ineludible asociado a las variables que se están estudiando.

En general, cuando se establecen medidas sobre una variable o sobre relaciones entre variables, se asume que estas presentan una variabilidad intrínseca e incontrolable, que se modeliza a través un error aleatorio y se cuantifica mediante su varianza. Habitualmente, se asume que su distribución probabilística es normal, conocida también como campana de Gauss por su forma y porque fue introducida por Johann Carl Friedrich Gauss para modelizar el comportamiento de los errores de medida en astronomía.

Uso del error aleatorio en estadística

En la modelización estadística se introduce un término de error que resume la aleatoriedad asociada al modelo. Por ejemplo, cuando una técnica estadística establece una relación entre variables, es muy frecuente una representación de la forma

Y_t = f (X_t) + ε_t

donde f es la relación funcional que se supone entre la variable Y y la(s) variable(s) X y ε es el término de error, o diferencia entre los verdaderos valores de Y y sus “estimaciones” a partir de X.

Con esta expresión se asume que la relación existente entre las variables no es determinística, es decir, no es posible obtener siempre el valor correcto de Y a partir del de X. La relación se supone estadística, es decir, que en la medición de la relación existe una fluctuación aleatoria que impide determinar el valor exacto, pero que las diferencias siguen un comportamiento modelizado mediante una distribución de probabilidad. Por ello, se introduce la variable aleatoria ε, denominada error aleatorio del modelo. Generalmente se asumen varias hipótesis sobre su distribución:

• 1. Que su esperanza matemática es nula; es decir, en media, el término de error es nulo o, equivalentemente, el valor medio de Y está determinado por la función del valor medio de X.
• 2. Que la magnitud de dichos errores está controlada y cuantificada mediante su varianza; es decir, que las oscilaciones tienen un valor cuadrático medio conocido.
• 3. Que no existe correlación entre el error y la(s) variable(s) X; es decir, la información contenida en el error es independiente de la suministrada por la(s) variable(s) X.
• 4. La distribución probabilística de ε es normal, por lo que está completamente caracterizada a partir de su esperanza y su varianza.

Este último supuesto, avalado por el teorema del límite central o ley de los grandes números, es crucial para la utilización de la mayoría de las técnicas estadísticas, que lo precisan para garantizar sus buenas propiedades probabilísticas. La magnitud de este error se convierte en uno de los métodos de estimación más utilizados, conocido como método de mínimos cuadrados (con diversas variantes, como ordinarios, ponderados, generalizados, parciales, etc.) Igualmente, es la base de muchos de los criterios de bondad de ajuste, como los basados en el estadístico chi-cuadrado.