Función de densidad de probabilidad

Concepto

En el contexto de las variables aleatorias continuas, la función de distribución, F_x (x) es continua y derivable, con derivada continua salvo en un conjunto de medida nula.

Pues bien, la función de densidad de probabilidad, f_x (x) o simplemente f (x), no es sino la derivada de la función de distribución, y es continua salvo en el conjunto de medida nula. Esta función asigna a cada valor x de la variable aleatoria X la densidad de masa probabilística que corresponde a un intervalo infinitesimal centrado en x.

Quizás esta última aseveración merezca una explicación más intuitiva. Como puede verse en “Función de distribución”, las variables aleatorias discretas toman los valores donde “salta” la función de distribución, siendo la probabilidad de cada uno de esos valores el tamaño del salto. Sin embargo, en el caso de las variables aleatorias continuas, la función de distribución no salta; o mejor dicho, salta infinitas veces, siendo el tamaño del salto inapreciable. En otras palabras, las variables aleatorias continuas surgen cuando se analizan características numéricas que pueden tomar una infinidad (no numerable) de valores (todos los de la recta real o los de un intervalo de la misma). En este caso, variaciones infinitesimales de x dan lugar a variaciones infinitesimales de F_x (x), de tal manera que la probabilidad se va acumulando suavemente (inapreciablemente) a lo largo de todo el campo de variación de la variable y no se encuentra concentrada en unos cuantos valores de la variable (como ocurre cuando la variable aleatoria en cuestión tiene carácter discreto).

A modo de ejemplo, supóngase que Cristiano Ronaldo quiere celebrar su cumpleaños con los 100.000 aficionados que llenan el estadio del Real Madrid y que para ello lleva una tarta. Si la reparte entre los aficionados, cada uno de ellos recibirá una migaja de tarta y si se les pregunta ¿de qué sabor era la tarta? no sabrían contestar debido a que la porción recibida no es lo suficientemente grande para apreciar el sabor. Pues lo mismo ocurre con la distribución de la tarta de la probabilidad. Su tamaño es unitario y si se reparte entre los infinitos valores de la variable, a cada uno de ellos le corresponderá una porción minúscula; tan minúscula que podríamos decir, con cierta tranquilidad, que es nula.

Por ello se conviene en que, en el caso de las variables aleatorias de tipo continuo la probabilidad de que la variable tome un valor particular es nula. Este hecho nos lleva a prescindir, en el caso continuo, de los valores de la variable y sustituirlos por intervalos infinitesimales en torno a dichos valores, en los que quepa “algo” de probabilidad. Dicha probabilidad viene dada por , recibe el nombre de probabilidad elemental y viene representada, geométricamente, por un área (la base es dxy la altura f (x)). Como puede apreciarse, sin más que pasar dx al lado izquierdo de la expresión precedente, la función de densidad de probabilidad en un punto x proporciona la probabilidad por unidad de longitud en un intervalo infinitesimal centrado en x.

Evidentemente, la cantidad de probabilidad que cabe en un intervalo depende de la amplitud del mismo.

En términos formales, , siendo F_x (x) el valor de la función de distribución de X en el punto x e la amplitud del intervalo considerado (centrado en x). Al ser la probabilidad en un punto nula, la probabilidad de que X tome valores en un intervalo cerrado, abierto, abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, o cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, es la misma. Si ahora se divide la probabilidad anterior entre la amplitud del intervalo, se tendrá la masa de probabilidad media por unidad de intervalo. Si, además, dicho intervalo se hace tender a cero, entonces:

donde f(x) puede ser interpretada como una función indicadora de la densidad de probabilidad en el intervalo infinitesimal . Es importante no confundir la densidad de probabilidad con la probabilidad en sí misma.

De la expresión precedente se puede deducir que

con lo cual,

En la Figura 1 se ilustra el hecho de que la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua se obtiene como la derivada de su función de distribución. Para ello se ha graficado el modelo de distribución de probabilidad más importante en el ámbito del Cálculo de Probabilidades: el modelo normal estándar.

La Figura 2 muestra gráficamente que, en el caso continuo, la probabilidad elemental es un área.

Propiedades

De las propiedades de la función de distribución se deducen fácilmente las de la función de densidad de probabilidad:

• 1. La función de densidad es no negativa. Efectivamente, como ni la probabilidad ni la amplitud de un intervalo no pueden ser negativas, y dado que , la función de densidad tampoco puede ser no negativa. Además, la densidad de probabilidad en un intervalo puede ser mucha, poca o ninguna, pero no tiene sentido que sea negativa.
• 2. El área bajo la función de densidad es unitaria. Efectivamente,

• 3. , es decir, es la acumulación de probabilidades elementales hasta el punto a.

• 4. La probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en un intervalo (si los extremos del intervalo son abiertos o cerrados poco importa, puesto que la probabilidad en un punto se considera nula cuando la variable aleatoria es continua), se obtiene como:

• es decir, se acumulan las probabilidades elementales de los intervalos infinitesimales en los que se ha dividido el intervalo(a, b).

Generalización al caso N-dimensional

De manera análoga al caso unidimensional, se puede extender el concepto de función de densidad de probabilidad al caso de dos o más variables aleatorias. En el contexto bidimensional (la generalización a más de dos dimensiones es inmediata), la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables X e Y se denota por f(x,y). A diferencia del caso unidimensional, los intervalos infinitesimales se convierten en áreas infinitesimales de lados dx y dy alrededor del punto bidimensional (x,y), y las probabilidades elementales f(x,y) dxdy son volúmenes.

La obtención de la función de densidad de probabilidad conjunta se lleva a cabo derivando dos veces (una respecto a x y otra respecto a y, no importando el orden) la función de distribución conjunta.

La probabilidad de que la variable bidimensional tome un valor en el recinto (a < X ≤ b; c < Y ≤ d) se obtiene como:

no importando, de nuevo, si los intervalos son o no cerrados puesto que la probabilidad en un punto bidimensional cualquiera se considera nula.