Función Cobb Douglas

Concepto

Una función Cobb Douglas es una función matemática que se emplea frecuentemente para expresar tanto funciones de Utilidad como funciones de Producción ya que reúne las condiciones que se le exigen tanto a los mapas de curvas de indiferencia, de la teoría del consumo, como a los mapas de curvas isocuantas de la teoría de la producción (convexidad, decrecimiento, continuidad, etc.).

Funciones de utilidad de tipo Cobb Douglas

Una función de utilidad Cobb Douglas puede expresarse de dos formas:

U (x, y) = A (α log (x) + β log (y)) o bien U (x, y) = AX^α Y^β

A la hora de obtener el equilibrio del consumidor, es decir, la combinación de bienes X e Y capaz de maximizar la Utilidad dada la restricción presupuestaria del individuo, aplicamos el sistema de ecuaciones habitual del equilibrio:

sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación del equilibrio R = P_x X + P_y Y, nos queda que de donde resulta la función de demanda del bien X que sería y análogamente puede obtenerse la función de demanda del bien Y que sería

Estas funciones de demanda obtenidas a través de una función de Utilidad de tipo Cobb Douglas presentan elasticidad cruzada cero (pues cada bien depende exclusivamente de su precio), elasticidad renta positiva y unitaria, propia de bienes normales y elasticidad demanda precio también unitario.

Funciones de producción de tipo Cobb Douglas

Una función de producción Cobb Douglas puede expresarse de dos formas:

X = A (α log (L) + β log (K)) o bien X = AL^α K^β

A la hora de obtener el equilibrio del productor, es decir, la combinación de factores K y L capaz de maximizar la producción del bien X dados los costes que desea asumir el empresario, aplicamos el sistema de ecuaciones habitual del equilibrio:

sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación del equilibrio que es la restricción de costes, C = P_l L + P_k K resulta la combinación de factores capaz de producir la máxima cantidad posible de X dados unos Costes.

Este tipo de condiciones de equilibrio tienen además la característica de cumplir la propiedad de homoteticidad, puesto que, como ha quedado anteriormente probado, , es decir, que la pendiente de las isocuantas expresadas por la función de producción Cobb Douglas, es una función del ratio K/L. Esta es una propiedad importantísima, pues a partir de ella se demuestra que las combinaciones que minimizan costes variando libremente la cantidad aplicada de factores (es decir, a largo plazo), pertenecen a isocostes más baratos que aquellos que tienen una cierta cantidad de capital constante (es decir, a corto plazo y por tanto que los costes a largo plazo deben estar situados por debajo de los costes a corto (de hecho, son la envolvente de aquellos).