Función de distribución

Concepto

En la mayoría de las ocasiones, cuando se trabaja con experimentos aleatorios, los sucesos objeto de probabilización se pueden transformar en subconjuntos de la recta real a través de una variable aleatoria. Estos subconjuntos no tienen por qué tener una forma única, sino que pueden ser puntos, intervalos o uniones de intervalos. El proceso de probabilización de estos subconjuntos puede llevarse a cabo a través de la probabilidad inducida P_x; sin embargo, bastará con calcular la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor del intervalo ] - ∞, x ], donde x es un número real cualquiera, ya que las probabilidades de cualquier otro suceso pueden ser calculadas con relativa facilidad a través de estas.

Pues bien:

— Dado un espacio probabilístico, (Ω,Α), sobre el que se define formalmente una función de probabilidad P, donde Ω es el espacio muestral asociado al experimento aleatorio y Α es un álgebra sigma, y

— dada la dupla (, B), donde es la recta real y B es un conjunto de subconjuntos del tipo ]0,X] y que contiene a todos los puntos e intervalos de , sobre la que se define P_x, una función de probabilidad inducida a través de la aplicación x:Ω → de tal manera que transforma los sucesos de A en subconjuntos de B, y que conserva los valores que la probabilidad P,

— se denomina función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X a una función F_x: → tal que:

F_x(x) = P_x (-∞,x] ∀ x ∈ o, de forma menos abstracta,

F_x (x) = P (X ≤ x)

es decir, una función tal que a cada valor x le asigna la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor igual o inferior a él. A modo de ejemplo, si el experimento aleatorio consiste en tirar un dado al aire y observar la puntuación obtenida (variable aleatoria X), la función de distribución de probabilidad de dicha variable aleatoria proporcionaría la probabilidad de obtener una puntuación igual o inferior a una dada (3, 5, 6) en el lanzamiento del dado.

Veamos un ejemplo clásico al completo para aclarar lo anteriormente expuesto. Supóngase un experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de una moneda.

En este caso, el espacio muestral Ω viene dado por los sucesos {c,+},

donde А, el álgebra sigma sobre Ω, es {∅, c,+,Ω}, y P es una función de probabilidad tal que:

Sea ahora la variable aleatoria X: "número de caras en el lanzamiento de una moneda" cuyos posibles valores son 0 (si sale cruz) y 1 (si sale cara). La probabilidad inducida por X para los distintos subconjuntos b de B es:

• - Si b ∈ B y 0,1 ∉ B ⇒P_x(b) = P(∅) = 0.
• - Si b ∈ B y .
• - Si b ∈ B y .
• - Si b ∈ B y .

es decir, la variable aleatoria únicamente toma dos valores y ambos con probabilidad 0,5.

Pues bien, la función de distribución de X: "número de caras en el lanzamiento de una moneda" viene dada por la expresión:

ya que para cualquier x <0 la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a dicho x es nula; en otras palabras la suma de probabilidades de los valores de X inferiores a x o igual que x es nula. De manera análoga, para cualquier 0 ≤ x < 1 la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor inferior o igual a él coincide con , ya que x = 0 sería el único punto con probabilidad. Finalmente, para cualquier x≥1 la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor inferior o igual a él coincide con , ya que x =0 y x =1 serían los únicos puntos con probabilidad. De lo anterior es fácilmente entendible que a la función de distribución también se le denomine función cumulativa o función de acumulación de probabilidad.

Nótese que la función de distribución de X "salta" en los puntos 0 y 1, y que en ambos casos el "tamaño" del salto es 0,5. Pues bien, de ello se puede deducir que, en caso de variables aleatorias discretas (dicho de una forma sencilla, aquellas que toman un número de valores contable, ya sea finito o infinito), la función de distribución tiene forma escalonada, siendo los valores de la variable aleatoria aquellos donde "salta" la función de distribución, y siendo el tamaño del salto en un valor determinado la probabilidad de que la variable aleatoria tome dicho valor.

A la tabla formada por los valores de la variable aleatoria con probabilidad no nula acompañados de sus correspondientes probabilidades se le denomina función de cuantía. En este caso:

Obsérvese que en el caso que nos ocupa, caso discreto, es muy fácil pasar de la función de distribución a la de cuantía (sin más que fijarse donde se producen los saltos de la función de distribución y cuantificar el tamaño de los mismos), así como de la de cuantía a la de distribución (sin más que acumular probabilidades).

Propiedades

A continuación se enuncian las principales propiedades de las funciones de distribución, procurando hacer un esfuerzo de intuición y huir de las demostraciones formales.

1. Las funciones de distribución nacen en cero. Efectivamente,

F_x (-∞) = P (X ≤ -∞) = P (∅) = 0

2. Las funciones de distribución mueren en uno. Efectivamente,

F_x (∞) = P (X ≤ ∞) = P (Ω) = 1

3. Las funciones de distribución son monótonas no decrecientes, ya que a medida que se avanza en el eje de abscisas (es decir, en el valor de x) se van acumulando probabilidades y estas son no negativas.

4. Sea x₁ ≤ x₂. Entonces, P (x₁ < X ≤ x₂ = F_x(x₂) - F_x(x₁). Efectivamente, si primero se calcula F_x(x₂) = P (-∞<X≤x₂) y posteriormente se le resta F_x(x₁) = P (-∞<X≤x₁), el resultado es la probabilidad deseada.

Como corolarios a esta propiedad, y por comparación con ella, se tienen los siguientes:

• a) P (x₁ < X < x₂) = F_x (x₂) - F_x(x₁) - P (X = x₂)
• b) P (x₁ < X < x₂) = F_x (x₂) - F_x(x₁) + P (X = x₁)
• c) P (x₁ < X < x₂) = F_x (x₂) - F_x(x₁) - P (X = x₂) + P (X = x₁)

5. Las funciones de distribución son siempre continuas por la derecha. Efectivamente, siempre que nos situemos en un lugar de la función de distribución y caminemos con pasos infinitesimales hacia la derecha, por mucho que caminemos no tendremos que levantar el pie para hacer frente a un salto. Situémonos, por ejemplo, en el valor de la función de distribución correspondiente al punto x=0,99. Si caminamos con pasos infinitesimales hacia la derecha (x=0,999, 0,9999, 0,99999,...) nunca alcanzaremos el valor x=1 y, por tanto, nunca tendremos que afrontar el escalón situado en dicho punto.

6. Las funciones de distribución no siempre son continuas por la izquierda. Si en el ejemplo anterior nos situamos en el punto x=1, un simple paso infinitesimal que demos hacia la izquierda nos hará caer por un precipicio de tamaño 0,5, la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 1.

Si la función de distribución es continua por la derecha (siempre lo son) y por la izquierda, entonces se denomina continua y tiene una forma como la que se muestra en la Figura 5, que, lógicamente, no presenta "saltos", lo cual nos lleva a la conclusión de que la probabilidad de que la variable aleatoria tome cualquier valor específico es nula (o, más estrictamente hablando, despreciable).

La determinación de la función de distribución de probabilidad en el caso continuo es análoga al expuesto anteriormente (caso discreto), si bien la "acumulación" de probabilidades se lleva a cabo a través de una integral. Así,

donde lo que se acumulan son probabilidades elementales. Obviamente, si de la función de densidad a la de distribución se pasa integrando la función de densidad respecto de x, de la función de distribución a la de densidad se pasa derivando la primera respecto de x.

Obsérvese la función de distribución que se muestra en la Figura 6.

Se trata de una función de distribución mixta, ya que presenta saltos (en este sentido tiene carácter discreto en los puntos donde salta) y también zonas de continuidad (que proporcionan su carácter continuo).

Función de distribución conjunta

En el contexto n-dimensional la función de distribución (a la que en este caso se le dota del apellido de conjunta) no es más que una generalización del caso unidimensional. Ciñámonos, por sencillez, al caso de dos variables aleatorias, X e Y.

En una tesitura discreta (las funciones de distribución unidimensionales de ambas variables son discretas), se tiene que:

es decir, el valor de la función de distribución de probabilidad conjunta de X e Y en el punto bidimensional (x_i,y_j) viene dado por la acumulación de las probabilidades de aquellos puntos en los que, simultáneamente, x ≤ x_i e Y ≤ y_j.

En una tesitura continua (las funciones de distribución unidimensionales de ambas variables son continuas), se tiene que:

es decir, el valor de la función de distribución de probabilidad conjunta de X e Y en el punto bidimensional (x,y) viene dado por la acumulación de las probabilidades elementales, f(x,y)dxdy asociadas a aquellos puntos en los que, simultáneamente, x ≤ x e Y ≤ y.

Igual que en el caso unidimensional, en una tesitura discreta, para pasar de la función de distribución a la de cuantía no habrá más que ir observando en qué puntos (esta vez n-dimensionales) salta la variable aleatoria bidimensional y cuál es el tamaño del salto (en el caso bidimensional la visualización de puntos con salto y tamaños de salto no es tan obvia como en el caso unidimensional, y cuando las variables son más de dos la visualización es inviable y debe procederse por métodos aritméticos). En el caso continuo, la función de densidad conjunta de las variables involucradas en el análisis se obtiene sin más que derivar su función de distribución conjunta respecto de dichas variables (el orden no importa).

El disponer de la función de distribución conjunta de varias variables no es una cuestión baladí, pues a partir de ella es sencillo obtener las funciones de distribución marginales de cada una de dichas variables, o la de una condicionada a otra, etc. Sin embargo, lo contrario no es viable. Así, por ejemplo, salvo que dos variables fuesen independientes, su función de distribución conjunta no podría deducirse a partir de las funciones de distribución de cada una de ellas (marginales).