Frecuencia

Introducción

Una de las funciones principales de la Estadística es la recogida, tabulación y presentación de los datos de una característica determinada de un conjunto de individuos, para después poder extraer conclusiones sobre lo que hay y lo que puede suceder. La recogida de datos puede ser exhaustiva (censo) o, lo que es lo normal, a través de una muestra.

Al plasmar en tablas esta información tomada de la realidad, la variable la distribuiremos en sus diferentes valores si la variable es discreta, o en intervalos si es continua, y asociamos a cada valor o intervalo su frecuencia absoluta, que es el número total de casos que se repite ese valor de la variable, o el número de casos que pertenecen al intervalo. A estas formas de presentación de los datos se les conoce como distribuciones de frecuencias.

Distribuciones unidimensionales

Solo estudiamos una característica de la población.

Distinguimos entre:

a) Frecuencia absoluta: Es el número de veces que aparece un determinado valor en la muestra. Se construye así el par ordenado que representa esta asociación para cada valor i-ésimo de la variable será de la forma (xi, ni), donde:

m=número total de valores distintos que toma la variable en estudio,

x_i= valor de la variable, desde i=1 hasta m,

n_i= frecuencia absoluta,

N= número total de observaciones.

Propiedad:

• La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número total de observaciones,

b) Frecuencia relativa: Es la proporción que representa la frecuencia absoluta respecto del total de observaciones. Se denota por f_i, y se calcula:

Estas frecuencias suelen presentarse en tanto por uno o en porcentajes, para lo que las multiplicamos por cien, y se denota por p_i:

p_i = f_i * 100

Propiedad:

• La suma de todas las frecuencias relativas es igual 1, o igual a 100 si son porcentajes,

Otro tipo importante de frecuencias son las acumuladas, que tendrán sentido cuando la variable estadística sea cuantitativa o cualitativa ordenable. Así, y suponiendo ordenados de menor a mayor los datos según el valor de la variable:

a) Frecuencia absoluta acumulada: Es el número de veces que ha aparecido un valor de la variable menor o igual al de referencia. Se denota por N_i, y para cada valor i-ésimo de la variable vale:

Propiedades:

• La frecuencia absoluta acumulada i-ésima es igual a la frecuencia absoluta acumulada anterior más la absoluta correspondiente a ese valor de la variable:

N_i = N_i-1 + n_i

• La última frecuencia absoluta acumulada es igual al número total de observaciones,

b) Frecuencia relativa acumulada: Es la proporción que representa la frecuencia absoluta acumulada respecto del total de observaciones. Se denota por F_i, y se calcula:

o bien:

Estas frecuencias suelen presentarse en tanto por uno o en porcentajes, para lo que las multiplicamos por cien, y se denota por P_i:

P_i = p_i * 100

Propiedades:

• La última frecuencia relativa acumulada es igual 1,

• La frecuencia relativa acumulada i-ésima es igual a la frecuencia relativa acumulada anterior más la relativa correspondiente a ese valor de la variable:

F_i = F_i-1 + f_i

A continuación se presentan dos ejemplos de estas frecuencias, uno sobre una variable discreta y otro sobre una variable continua, aunque básicamente los cálculos son análogos.

Ejemplo 1 (variable discreta):

Planteamos un estudio sobre el número de ordenadores en los hogares españoles. Para ello se ha seleccionado una muestra de un total de 250 hogares, obteniéndose los siguientes datos:

Calculamos:

• a. Frecuencia absoluta: Columna de la n_i.
• b. Frecuencia relativa y porcentaje: Columna de la f_i, y de la p_i.
• c. Frecuencia absoluta acumulada: Columna de la N_i.
• d. Frecuencia absoluta relativa, y porcentaje absoluto: Columna de la F_i y P_i.

Ejemplos (interpretaciones):

• - n₅=22, significa que de la muestra de 250 hogares existen 22 que tienen 4 ordenadores.
• - f₂=0,112 ó p₂=11,2 %, significan que en la muestra el 11,2 % de los hogares tienen solo un ordenador en casa.
• - N₅=215, es el número de hogares españoles que tienen 4 ordenadores o menos, es decir, agrega los hogares que tienen 0, 1, 2,3 y 4 ordenadores.

  Así, si quisiéramos calcular los hogares con más de 4 ordenadores, es decir, los que tienen 5 y 6, descontaríamos del total de la muestra (250) los calculados anteriormente, N-N₅=250-215=35, luego 35 son los hogares con más de 4 ordenadores.

• - F₄=0,772 o P₄=77,2 %, representa que es 77,2 % de los hogares españoles tienen como máximo 3 ordenadores, es decir, tienen 0, 1, 2 o 3.

  Análogamente al ejemplo anterior, podemos calcular el porcentaje de los hogares con más de tres ordenadores, 1-F₃=1-0,772=0,228 o 1-P₃=1-77,2=22,8 %.

Ejemplo 2 (variable continua):

Cuando la variable es continua o cuando sea discreta tomando esta un número elevado de valores y observaciones, las agrupamos en intervalos para el manejo de los datos, a cambio de esto se produce una pérdida de información sobre los datos. Los intervalos son, por lo general, de esta forma:

[L_i-1, L_i),

Donde:

L_i-1 =extremo inferior del intervalo,

L_i al extremo superior.

El intervalo es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, aunque también puede ser al contrario.

Se va a estudiar la altura de un grupo de 300 alumnos. Para ello, la variable altura se ha agrupado en 5 intervalos de la forma siguiente:

Las interpretaciones serían similares a las anteriores, algunos ejemplos son:

• — n₂=48, el número de individuos de la muestra que tienen una altura entre 1,60 y 1,65 metros es de 48; que representan el 16,0 % del total de la muestra, como indica f₂=0,160 o p₂=16 %.
• — P₄=91,7 %, representa que el 91,7 % de la muestra mide hasta 1,85 metros, lo que en número son 275 individuos.

Distribuciones bidimensionales

Cuando en una población se estudian dos ó más características a la vez, estamos ante un análisis bidimensional o multidimensional, respectivamente. La tabulación de la información observada se hará mediante las tablas de doble entrada, que recogerán en distintas filas los posibles valores de una variable, por ejemplo la X; y en columnas los de la otra variable, normalmente señalada con la Y; y en las intersecciones las frecuencias conjuntas, que son el número de observaciones que presentan a la vez los valores correspondientes de X e Y, que se denotaran por n_ij.

Así:

X e Y=Variables objeto de estudio.

x_i= los distintos valores de la variable X, toma los valores desde i=1 hasta n.

y_j= los distintos valores de la variable Y, toma los valores desde j=1 hasta m.

n_ij=la frecuencia absoluta conjunta, es el número de observaciones que muestran a la vez los valores x_i e y_j.

La distribución bidimensional vendrá dada por la terna ordenada (x_i,y_j,n_ij), cuya tabulación será a través de las tablas de doble entrada.

Ejemplo 3:

Siguiendo el ejemplo 1, observamos en esos 250 hogares también el número de menores de 16 años que viven en cada uno, y, así construimos la distribución de frecuencias siguiente:

Donde:

X= Nº de ordenadores por hogar.

Y= Nº de menores de 16 años que viven en el hogar.

n_ij=Frecuencia absoluta conjunta de x_i e y_j.

Por ejemplo, n₃₅= hay 14 hogares con 2 ordenadores y 4 menores de 16 años.

a) Frecuencias marginales:

Dada una distribución bidimensional, (x_i, y_j, n_ij), las distribuciones marginales de frecuencia son cada una de las distribuciones unidimensionales que se deducen obviando la otra dimensión.

Así, las distribuciones marginales serán:

En nuestro ejemplo:

Propiedad:

b) Distribuciones condicionadas:

La distribución condicionada de la variable Y, dado un valor de X=X_i, se define por los valores que toma la variable Y y las frecuencias condicionadas de Y asociadas a dichos valores. Análogamente se definirá una distribución condicionada de la variable X. La distribución de X condicionada a que Y valga un cierto valor se representa por X/Y=y₀ o, por el contrario, la distribución de Y condicionada a un valor sobre X será Y/X=x₀.

Ejemplo: Con los datos del ejemplo 1, calcularemos la distribución del número de ordenadores X condicionada a que el número de menores de 16 años Y sea igual a 3, es decir, X/y=3.